Motivation des Tychonoff-Theorems
Ich studiere für einen Master-Abschluss und ich muss ein Thema auswählen und schließlich habe ich mich entschieden, zu wählen. Tychonoff-Theorem in der allgemeinen Topologie. Hier habe ich mich mit dem Tychonoff-Theorem befasst und auch einen einfachen Beweis für diesen Theorem gefunden. Aber ich suche nach Motivation hinter diesem Theorem und was ist die Idee dieses Theorems. Wenn ich eine interessante Anwendung in Bezug auf das Master-Level finden würde, wäre es großartig. Derzeit verfolge ich die Grundtopologie von Munkres Topology, Ryszard Engelking und Armstrong.
Jede Hilfe wird geschätzt.
Danke im Voraus!
Antworten
Es scheint, dass das, was Tychonoff zu seinem Produktsatz führte, in erster Linie die Frage war, welche (Hausdorff-) Räume schöne Verdichtungen zulassen.
Es ist diese Frage, die im Mittelpunkt seiner Arbeit Über die topologische Entwicklung von Interessen von 1930 steht, auf die eine teilweise Antwort gegeben wurde. Der Hauptsatz des Papiers lautet lose wie folgt.
Für jeden Kardinal $\tau$ Es gibt einen kompakten Haudorff-Raum $R_\tau$ von Gewicht $\tau$ mit der Eigenschaft, dass jeder normale Gewichtsraum $\leq\tau$ bettet ein in $R_\tau$. Wann$\tau=\aleph_0$, der Raum $R_{\aleph_0}$ ist homöomorph zum Hilbert-Würfel.
Er weist darauf hin, dass dies unter anderem einen Sonderfall des Urysohn-Metrisierungssatzes impliziert .
Der Punkt ist natürlich, dass der kompakte Raum $R_\tau$ ist ein $\tau$-gewichtetes Produkt aus Einheitsintervallen, und der harte Teil des Papiers erscheint in $\S2$, wo Tychonoff beweist, dass dieses Produkt tatsächlich kompakt ist. Dies wäre der allererste und ziemlich spezielle Fall des späteren Tychonoff-Produktsatzes.
Es ist amüsant, dass das Ergebnis hier für das Papier von so untergeordneter Bedeutung ist, dass ich nicht einmal ein Lemma oder eine Aussage finden kann, um es hervorzuheben. Auch das Auswahlaxiom wird trotz der Begeisterung anderer Kommentatoren hier überhaupt nicht erwähnt.
Etwas anderes, das mir seltsam vorkommt, ist, dass Tychonoff sieben Jahre vor der Veröffentlichung von Stones oder Čechs Veröffentlichungen Verdichtungen vom Typ Stone-Čech zu konstruieren scheint. In der Tat ist es dieses Papier von 1930, in dem Tychonoff den Begriff eines völlig regulären Raums einführte , und sein zweites Hauptergebnis ist das
Ein Raum wird genau dann als Unterraum eines kompakten Hausdorff-Raums eingebettet, wenn er vollständig regelmäßig ist.
All dies scheint die Motivation für Tychonoffs Produktsatz gewesen zu sein.
Die Geschichte von hier habe ich nicht so erfolgreich aufgespürt. Laut Wikipedia wies Tychonoff in einem seiner Arbeiten von 1935 darauf hin, dass die in Über die topologische Entwicklung von Interessen angegebene Konstruktion zeigt, dass beliebige Produkte kompakter Räume kompakt sind. Dies wäre natürlich sein berühmtes Ergebnis. Ich konnte das betreffende Papier nicht finden und werde daher keinen Kommentar abgeben.
Seien Sie jedoch versichert, dass endlich ein Beweis für Tychonoffs Theorem aufgetaucht ist. Eigentlich in der Arbeit von 1937 über Bicompact Spaces von Eduard Čech. Es ist auf Seite 830 in der Zeile , die das kartesische Produkt ... . Hier wird es von Čech verwendet, um Verdichtungen von völlig regelmäßigen Räumen zu konstruieren, und Tychonoff wird entsprechend akkreditiert.
Es scheint wirklich, dass die Mathematik-Community die Bedeutung des Tychonoff-Produktsatzes erst lange nach seiner Aufnahme in das Fach erkannt hat.
Hmm, nun, ich habe interessante Erinnerungen an das Tychonoff-Theorem, das aus der Zeit stammt, als ich Spaniers Punkt-Set-Topologie und Intro zu Funktionen einer realen Variablen in Berkeley brachte. Er sagte, er wisse, dass ich den Beweis nicht richtig verstanden habe, weil ich nicht das Axiom der Wahl verwendet habe.
Aber ich kann Ihnen sagen, dass der Tychonoff-Satz zusammen mit der Urysohn-Metrisierung einer der beiden ersten Sätze in der allgemeinen Topologie ist. Wie Sie wissen, heißt es, dass das Produkt kompakter Räume kompakt ist. Dies unterscheidet die Produkttopologie von der Kastentopologie, da der Satz in letzterer nicht wahr wäre.
Munkres ist eine gute Referenz. Und da ist Kelley.