Nichtverriegelbarkeit der Quantenmaximalentropie

Question

Die Sperrbarkeit und Nicht-Sperrbarkeit werden in diesem Dokument erläutert . Eine reelle Wertfunktion eines Quantenzustands wird als nicht sperrbar bezeichnet, wenn sich ihr Wert nach dem Verwerfen eines Subsystems nicht zu stark ändert. Die Maximalentropie eines Quantenzustands ist definiert als

$$H_{\max }(A)_{\rho}= \log \operatorname{tr}(\rho_{A}^{1 / 2})$$

Für einen zweigliedrigen Quantenzustand $\rho_{AB}$Ich würde gerne wissen, ob die Maximalentropie nicht abschließbar ist, dh ob es eine Beziehung der Form gibt

$$\text{tr}(\rho_{AB}^{1/2}) \leq \text{tr}(\rho_{A}^{1/2})\cdot|B|$$

was nach dem Aufnehmen von Protokollen auf beiden Seiten ergeben würde

$$H_{\max}(AB)\leq H_{\max}(A) + \log|B|$$

Ein paar einfache numerische Beispiele legen nahe, dass dies wahr sein könnte, aber ich konnte es nicht beweisen.

Answer 1

Lassen $D_{\alpha}(\rho\|\sigma):= \frac{1}{\alpha - 1} \log \mathrm{Tr}[\rho^\alpha \sigma^{1-\alpha}]$ sei die Petz-Rényi-Divergenz für $\alpha \in (0,1)\cup(1,\infty)$. Beachten Sie, dass für$\alpha \in (0,1)\cup(1,2]$Diese Menge erfüllt die Datenverarbeitungsungleichheit $$ D_{\alpha}(\rho\|\sigma) \geq D_{\alpha}(\mathcal{E}(\rho) \| \mathcal{E}(\sigma)), $$ wo $\mathcal{E}$ ist eine beliebige CPTP-Karte.

Nun lass $\rho_{AB}$ sei irgendein Staat und nimm $\mathcal{E}$ die Teilspur über die sein $B$System. Dann für$\alpha = 1/2$ wir haben $$ \begin{aligned} -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] &= D_{1/2}(\rho_{AB}\|I_{AB}) \\ &\geq D_{1/2}(\mathrm{Tr}_{B}[\rho_{AB}]\|\mathrm{Tr}_{B}[I_{AB}]) \\ &= D_{1/2}(\rho_{A}\||B|I_{A}) \\ &= -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A} |B|^{1/2}] \end{aligned} $$

Neuanordnung erhalten Sie $$ \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] \leq \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A}] + \log|B|^{1/2} $$ Das ist eigentlich eine etwas stärkere Ungleichung mit dem Exponenten von $|B|$ nur sein $1/2$.