Oberflächenintegral über einem Zylinderproblem

Question

Ich habe einen generischen Zylinder $x^2+y^2=a^2, 0≤z≤h$ gekennzeichnet als $G$. Es hat einen nach außen weisenden Einheitsnormalenvektor$\vec{n}$.

Wie im Bild unten zu sehen:

Jetzt werde ich gebeten, dieses Integral weiter zu lösen $G$::

$$\iint\limits_{G}\vec{n}⋅\vec{n}ds$$

Hinweis: Ich weiß, dass der bequemste Weg zur Lösung dieses Problems darin besteht, nur das Punktprodukt zu berechnen, das gleich 1 ist. Von dort aus kann ich problemlos mit der Berechnung der Oberfläche von fortfahren $G$ was gleich ist $2\pi ah$.

Und hier ist mein Problem. Das habe ich nicht beachtet$\vec{n}⋅\vec{n}=1$in unserem Fall. Ich ging geradeaus und bemerkte das$\vec{n}=∇f(x,y,z)=(2x,2y,0)$. Dann habe ich die bekannte Gleichung des Oberflächenintegrals verwendet:

$$\iint\limits_{S}f(x,y,z)ds=\iint\limits_{D}f(x,y,g(x,y))\sqrt{(z_x)^2+(z_y)^2+1} dA$$

Und versuchte das folgende Integral zu lösen:

$$\iint\limits_{S}(2x,2y,0)⋅(2x,2y,0)ds=4\iint\limits_{S}x^2+y^2ds=4\iint\limits_{D}x^2+y^2dA=4\int_{θ=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a}r^3drdθ$$

Hier habe ich eine falsche Antwort bekommen. Das Problem ist, dass es keinen Verweis auf den Wert von gibt$z$was die Höhe dieses Zylinders begrenzt. Ich denke, dass ich hier etwas verpasst habe, weil mir meine Art zu lösen im Allgemeinen logisch erscheint, aber ich bin sicher, dass es einen richtigen Weg gibt, um mit der Höhenbeschränkung umzugehen, die ich hier nicht gut verstehen kann.

Answer 1

Das kleine Problem ist das $\vec n$muss normalisiert werden. Ihr größeres Problem ist jedoch, dass Sie das Integral auf der falschen Oberfläche berechnen. Wenn Sie integrieren$r$ von $0$ zu $a$, und $\theta$ von $0$ zu $2\pi$ (nicht $4\pi$) berechnen Sie das Integral an der unteren Kappe des Zylinders, nicht an der Seite. So lösen Sie das erste Problem,$$\vec n=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2x,2y,0)$$ Dann wird der Integrand sein $1$. Bei der zweiten Ausgabe befindet sich das erste Integral entlang des Umfangs.$dl$ von $0$ zu $2\pi a$, und $dz$ von $0$ zu $h$

Answer 2

Um Ihre Frage zu beantworten, stimmt etwas nicht $\vec{n}=∇f(x,y,z)=(2x,2y,0)$. Wenn das richtig wäre, hätten wir$\mid \mid \vec n \mid \mid =2a \neq 1$ im Allgemeinen.

Persönlich würde ich Zylinderkoordinaten verwenden. Wir haben$\mathbf r=r\mathbf u_r+z \mathbf u_z$ und dein $\mathbf n$ ist nur $\mathbf u_r$.