OLS nach Matrixform

Question

Wenn ich das Modell habe: $y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Ich muss zeigen, dass der OLS-Schätzer ist:

Ich denke, dass ich verwenden muss $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Aber ich bin ein aber verwirrt. Kann jemand die Matrizen X und Y aufschreiben? Ich muss nur die erste Koordinate in der multiplizieren$2\times1$, weil ich es nur zeigen muss $\beta_1$?

Answer 1

$$\require{cancel} \xcancel{ X = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. \qquad {}} $$

Spätere Bearbeitung: Ich habe nicht bemerkt, dass das in der ursprünglichen Veröffentlichung vorgeschlagene Modell keinen Abschnitt hat. Das heißt also, wir haben$$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$