OLS-Schätzer durch Matrix gelöst

Question

Ich bin immer noch verwirrt. Wenn ich das Modell habe:$y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Ich muss zeigen, dass der OLS-Schätzer ist:

Ich denke, dass ich verwenden muss $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Aber ich bin ein bisschen verwirrt. Jetzt denke ich das:$$ X = \left[ \begin{array}{ccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$. Und wenn ich finde$(X^tX):$ $$ X^tX = \left[ \begin{array}{ccc} \sum_{i} X_{i1}X_{i1} & \sum_{i} X_{i1}X_{i2} \\ \sum_{i} X_{i1}X_{i2} & \sum_{i} X_{i2}X_{i2} \end{array} \right]. \qquad\qquad $$. Aber ich kann nicht finden$(X^tX)^{-1}$ weil $\frac{1}{ad-bc}$ und der Nenner in der Fraktion wird geben $0$? Was kann ich stattdessen tun ???

Answer 1

Wenn $$ X^tX = \left[ \begin{array}{ccc} \sum_{i} X_{i1}X_{i1} & \sum_{i} X_{i1}X_{i2} \\ \sum_{i} X_{i1}X_{i2} & \sum_{i} X_{i2}X_{i2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \sum_{i} X^2_{i1} & \sum_{i} X_{i1}X_{i2} \\ \sum_{i} X_{i1}X_{i2} & \sum_{i} X^2_{i2}\end{array} \right]. \qquad\qquad $$

Dann $$det(X^tX) = \left( \sum_{i} X^2_{i1}\right)\left(\sum_{i} X^2_{i2}\right) - \left(\sum_{i} X_{i1}X_{i2}\right)^2$$was ich nicht verstehe, warum sollte Null sein. Dann mit:$$ (X^tX)^{-1} = \frac{1}{det(X^tX)} \left[ \begin{array}{ccc} \sum_{i} X^2_{i2} & - \sum_{i} X_{i1}X_{i2} \\ -\sum_{i} X_{i1}X_{i2} & \sum_{i} X^2_{i1} \end{array} \right]. \qquad\qquad $$ führt zum erwarteten Ergebnis für $\beta_1$.