Option auf eine Option
Was ist der Wert des Vertrags (zum aktuellen Zeitpunkt zu zahlen $t_0$), die einem das Recht (aber nicht die Verpflichtung) gibt, eine Vanilla Call-Option (mit einem bestimmten Strike K) zu einem vorher festgelegten Preis zu kaufen $p$ zu einem späteren Zeitpunkt $t_e$? Der Preis,$p$ wird bestimmt bei $t_0$ und bezahlt bei $t_e$wenn der Inhaber das Recht zum Kauf der Option ausübt. Angenommen, die Aktie ist normal mit konstanter Volatilität.
Antworten
Der Beweis ist relativ lang, daher konzentriere ich mich darauf, die Argumentation und die wichtigsten Schritte aufzuzeigen.
Wir arbeiten an einem Black-Scholes-Modell. Ohne Verlust der Allgemeinheit konzentrieren wir uns auf eine Option mit Streik$P$ zu kaufen bei $t_e$ eine europäische Call-Option, die am abläuft $T$, geschrieben auf eine Aktie $S$. In Bezug auf die risikoneutrale Maßnahme werden immer Erwartungen gestellt$Q$ sofern nicht anders angegeben, schreiben wir $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$.
Der Wert $C_t$ einer europäischen Call-Option ist gleich: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$
Der Wert $O_t$ einer Option gegenüber einer europäischen Call-Option ist gegeben durch: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ wo die letzte Ungleichung aus dem Gesetz der iterierten Erwartungen resultiert, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ ist der zusammengesetzte Streik, und $S^\star$ ist der Wert von $s$ das löst die folgende Gleichung: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ wo $c$ ist der undiskontierte Black-Scholes-Preis für eine europäische Call-Option: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$
In der Praxis ist die Menge $S^\star$ kann durch numerische Lösung der Gleichung berechnet werden $(2)$zum Beispiel von Newton-Raphson. Nun der dritte Term in Gleichung$(1)$ ist lediglich die Wahrscheinlichkeit, dass eine logarithmische Normalvariable darüber liegt $S^\star$. In Analogie zu den klassischen Black-Scholes ist dies gleich:$$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$
Um den zweiten Term in zu berechnen $(1)$, wir definieren $Z$ und $Y$ als zwei unabhängige normale Zufallsvariablen mit einem Mittelwert von Null und einer Einheitsvarianz, um die Brownschen Inkremente von darzustellen $t$ zu $t_e$ und von dort nach $T$. Beachten Sie, dass:$$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ wo $X$ ist eine dritte Standardnormalvariable mit der folgenden Korrelation mit $Z$:: $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ Daher der zweite Term in Gleichung $(1)$ ist die kumulative Bi-Variate-Normalwahrscheinlichkeit vorbei $Z$ und $X$ parametrisiert durch ihre Korrelation $\rho$:: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$
Für den ersten Term in Gleichung $(1)$Wir ändern das Maß der Erwartung in das Bestandsmaß, bei dem die Anzahl der Bestände ist $S$, die wir schreiben werden $\mathcal{S}$:: $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$
Der Radon-Nikodym-Prozess, der durch diese Änderung des Maßes impliziert wird, ist: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ Der "Novikov-Prozess" für diese Maßänderung ist daher $\theta_t:=-\sigma t$. Somit ist der folgende Prozess die Brownsche Bewegung unter dem Bestandsmaß:$$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$
Dies impliziert, dass die Drift des Bestands unter dieser neuen Maßnahme um zunimmt $\sigma^2$. Wir können die Gleichung nutzen$(4)$ aber diesmal auf normalen Standardvariablen $Z'$, $Y'$ und $X'$ unter dem Bestandsmaß $\mathcal{S}$:: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ Das ist: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ Definieren: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ Dann Gleichungen kombinieren $(1)$, $(3.a)$, $(3.b)$ und $(3.c)$erhalten wir das gewünschte Ergebnis: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$
Wie Sie sehen können, ist es der Black-Scholes-Gleichung für eine Anrufoption sehr ähnlich:
- Der dritte Term der Bewertungsformel für $O_t$ entspricht dem zweiten Term in der Black-Scholes-Formel, nämlich dem Discounted Strike $P$ mal die Wahrscheinlichkeit, dass die Option auf die Option ausgeübt wird;
- Die ersten beiden Begriffe zusammen kommen dem Black-Scholes-Wert einer Call-Option sehr nahe: Dies ist zu erwarten, da die Option auf eine Call-Option geschrieben ist. Allerdings die Wahrscheinlichkeiten$\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ und $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ Konto für den Wert des Aktienkurses bei $t_e$ und $T$. Dies liegt daran, dass Sie beim Eingehen einer Vanille-Call-Option den Aktienkurs zum Handelstag kennen$t$ aber nicht nach Ablauf $T$. In diesem Fall geben Sie die Option zu einem späteren Zeitpunkt ein$t_e>t$Daher kennen Sie den Wert des Basiswerts weder zu Beginn $t_e$ noch bei Ablauf $T$: Diese erhöhte Unsicherheit wird durch die Bi-Variate-Normalverteilung erfasst.
Ich denke, Sie beziehen sich auf eine zusammengesetzte Option . Die Bewertung unter Black-Scholes-Annahmen finden Sie im Link. Die Option wurde zuerst von Geske (1978) abgeleitet, siehe hier für das Originalpapier .