PDF einer logarithmisch normalverteilten Variablen nach Tangens-Hyperbolicus-Transformation

Question

Nehmen Sie eine Variable an $x_0>0$ mit logarithmisch normalverteiltem Rauschen, so dass die Beobachtung $x$ von $x_0$ hat das folgende PDF:

$$ p(x\mid x_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{\left(\ln{(\frac{x}{x_0})} - \sigma^2\right)^2}{2\sigma^2}} $$

(NB: $x_0$ entspricht somit dem Modus der logarithmischen Normalverteilung nach der Neuparametrisierung $\mathrm{mode}=e^{\mu-\sigma^2}$)

Wie sich herausstellt, kann ich nicht messen $x$ direkt, aber nur eine Transformation $y(x)$::

$$ y(x) = (1-\delta)\tanh(\beta x) + \delta $$

Die Parameter $\delta$ und $\beta$ sind für meine Frage nicht relevant, aber es kann angenommen werden $0\le\delta\le1$ und $\beta>0$.

Jetzt habe ich eine Messung $y_m$ und ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine latente Variable $x_0$ würde ein erzeugen $y$ innerhalb des Fensters $[y_m-\epsilon; y_m+\epsilon]$.

Ich habe zwei Fragen dazu:

1. Wofür ist das PDF? $y$das würde mir erlauben, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen? (Beachten Sie, dass ich aus Gründen, die hier nicht erwähnt werden, eine Transformation vermeiden möchte$y_m$ zu $x$-Raum)
2. Noch pragmatischer ist, dass das von mir verwendete wissenschaftliche Programmiermodul ( scipy.stats.lognorm) CDF-Implementierungen für die logarithmische Normalverteilung enthält. Wenn anstelle der oben genannten$\tanh$ Transformation Ich hatte die Identitätstransformation $y(x)=x$Ich könnte einfach etwas in der Art von verwenden lognorm(x0,σ).cdf(y_m+ε) - lognorm(x0,σ).cdf(y_m-ε). Kann ich diese lognorm CDF-Implementierung nach einer geeigneten Transformation weiterhin verwenden?

Answer 1

Die hyperbolische Tangentenfunktion $\tanh$ ist eine streng zunehmende Funktion, daher ist es recht einfach, die CDF der Zufallsvariablen zu erhalten $Y$. Ich werde eine allgemeinere Antwort geben als das, wonach Sie suchen - insbesondere werde ich keine Annahme über die Verteilung machen$X$und ich werde nicht annehmen, dass dies eine nicht negative Zufallsvariable ist. Verwendung der festgelegten Transformation mit$\beta$ und $0 \leqslant \delta < 1$ du hast:

$$\begin{align} F_Y(y) &\equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y) \\[12pt] &= \mathbb{P}((1-\delta) \tanh (\beta X) + \delta \leqslant y) \\[6pt] &= \mathbb{P} \bigg( \tanh (\beta X) \leqslant \frac{y-\delta}{1-\delta} \bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \bigg( \frac{e^{2 \beta X}-1}{e^{2 \beta X}+1} \leqslant \frac{y-\delta}{1-\delta} \bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \bigg( e^{2 \beta X}-1 \leqslant \frac{y-\delta}{1-\delta} \cdot (e^{2 \beta X}+1) \bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \bigg( e^{2 \beta X} \cdot \frac{1-y}{1-\delta} \leqslant 1 + \frac{y-\delta}{1-\delta} \bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \bigg( e^{2 \beta X} \cdot \frac{1-y}{1-\delta} \leqslant \frac{1+y-2\delta}{1-\delta} \bigg) \\[6pt] &= \mathbb{P} \bigg( e^{2 \beta X} \cdot (1-y) \leqslant (1+y-2\delta) \bigg). \\[6pt] \end{align}$$

Unter Berücksichtigung der Grenzen der Funktion, die Sie dann haben:

$$\begin{align} F_Y(y) &= \begin{cases} 0 & & \text{if } y \leqslant 2\delta-1, \\[6pt] F_X \bigg( \frac{1}{2 \beta} \cdot \log \Big( \frac{1+y-2\delta}{1-y} \Big) \bigg) & & \text{if } 2\delta-1 < y < 1, \\[6pt] 1 & & \text{if } y \geqslant 1, \\[6pt] \end{cases} \\[6pt] \end{align}$$

Es ist leicht zu zeigen, dass:

$$\begin{align} \frac{d}{dy} \log \Big( \frac{1+y-2\delta}{1-y} \Big) &= \frac{1}{1+y-2\delta} + \frac{1}{1-y} \\[6pt] &= \frac{(1-y)+(1+y-2\delta)}{(1+y-2\delta)(1-y)} \\[6pt] &= \frac{2(1-\delta)}{(1+y-2\delta)(1-y)}. \\[6pt] \end{align}$$

Daher Differenzierung der CDF in Bezug auf $y$ gibt die entsprechende Dichte an:

$$f_Y(y) = \frac{(1-\delta)}{(1+y-2\delta)(1-y) \beta} \cdot f_X \bigg( \frac{1}{2 \beta} \cdot \log \Big( \frac{1+y-2\delta}{1-y} \Big) \bigg) \quad \quad \text{for } 2\delta-1 < y < 1.$$

Substitution der Dichtefunktion für $X$wird Ihnen die endgültige Form geben. Beachten Sie, dass Sie dies in Ihrem Problem angenommen haben$X$ ist eine nicht negative Zufallsvariable, die zur effektiven Grenze führt $y \geqslant \delta$. Diese Grenze ergibt sich korrekt aus der Substitution in die obige Gleichung in dem Fall, in dem$f_X$ unterstützt nur positive Argumentwerte.