Phasendifferenz einer stehenden Welle
Bevor ich mit der eigentlichen Frage beginne: Ich möchte keine typische Antwort, an die jemand gedacht oder kritisiert und abgelehnt hat, ohne die Frage überhaupt richtig zu lesen.
Ich habe ungefähr zwei Monate lang gegoogelt und nach Antworten auf dieses Problem gesucht und verwandte Fragen in verschiedenen Physikforen, einschließlich Stack Exchange, gestellt, aber die Dinge sind immer noch unklar.
1. Motivation : Laut D. Halliday in seinem Buch Fundamentals in Physics, 10. Auflage , für eine durch die Funktion beschriebene Wanderwelle$y(x, t)=A \sin (kx - \omega t)$ist die Phase das Argument $kx - \omega t$und somit ist die Phasendifferenz $$\Delta (kx - \omega t) = k\Delta x - \omega \Delta t = k(x_2 - x_1) + \omega (t_2 - t_1).$$
Wir betrachten normalerweise entweder die Position $x$ oder die Zeit als konstant, so dass einer der Terme Null wird und dies uns normalerweise ermöglicht, die Phasendifferenz als eine der beiden zu betrachten $k\Delta x$ oder als $\omega \Delta t$. Okay. Bis hier ist alles in Ordnung.
2. Stehende Welle : Die Gleichung für die stehende Welle kann leicht (unter Verwendung eines Teils der Trigonometrie) aus der Kombination zweier identischer Wanderwellen abgeleitet werden, die sich in die entgegengesetzte Richtung bewegen, und der Ausdruck lautet$$y(x, t) = A \cos(\omega t)\sin(kx).$$
Die erste Verwirrung beginnt mit der Bestimmung, welche, offensichtlich zwischen Zeit und Position, als Argument herangezogen werden soll . Also würde ich sagen, ich war mir nicht sicher, ob ich nehmen sollte$\Delta \phi = \omega \Delta t$ oder $\Delta \phi = k \Delta x$. Ich habe beide ausprobiert und dachte (auch offensichtlich), wenn ich die Phasendifferenz von zwei getrennten Punkten betrachte, auf die ich mich beziehen muss$\Delta \phi = k \Delta x$, weil der Zeitpunkt, zu dem wir die Phasendifferenz untersuchen, in diesem Fall nicht wirklich wichtig ist.
2.1 Der Phasendifferenz einer stehenden Welle : Ich habe viele Bücher und Artikel darüber gelesen, aber keiner von ihnen hat dies direkt klargestellt. Dennoch fand ich ein Buch mit dem Titel "Waves & Normal Modes" von Prof. Matt Jarvis am Institut für Physik der Universität Oxford, in dem er sagt:
Alle Punkte auf der Saite haben die gleiche Phase oder sind Vielfache von π, was die zeitliche Bewegung der Schwingungen betrifft. Beispielsweise ruhen alle Punkte gleichzeitig, wenn sich die Saite maximal von der Gleichgewichtsposition entfernt befindet, und alle durchlaufen gleichzeitig den Ursprung oder die Gleichgewichtsposition.
Ich denke, er bezieht sich auf die Zeitphasendifferenz. Als die$\cos \omega t$ Begriff hängt nicht ab $x$die Zeitphasendifferenz zwischen zwei getrennten Punkten offensichtlich Null. Ich halte das für vernünftig. Ich fand ein ähnliches (und befriedigendes) Argument aus der Antwort von John Rennie auf diese Frage .
Ich fand jedoch heraus, dass es eine übliche Konvention in der High School / im ersten Jahr der Physik ist, dies zu sagen
Wenn sich zwei beliebige Punkte gleichzeitig nach oben oder zur gleichen Zeit nach unten bewegen, wird die Phasendifferenz als Null bezeichnet, und wenn sie sich in die entgegengesetzte Richtung bewegen, beträgt die Phasendifferenz $\pi$. Es sind nur zwei Werte möglich und keiner der anderen Werte, auch nicht die ganzzahligen Vielfachen von$\pi$ sind unmöglich.
Sie können ein Beispiel einer Quelle sehen, die dieses Argument bei Isaac Physics vorbringt.
3. Das Problem : Um auf den Punkt zurückzukommen, dieses Argument besagt im Grunde, dass für zwei beliebige Punkte, egal wie nah oder fern sie sind, wenn sie sich nur beide nach oben oder beide nach unten bewegen, sie in Phase sind und die Die Phasendifferenz ist Null. Keine Gleichung und keine Argumentation. Ich bin sehr unzufrieden damit, aber Lehrbücher sagen, dass es richtig ist. Ist es nur ein trivialer Fehler in Schulbüchern oder gibt es etwas mehr als das?
Entschuldigen Sie auch die unangemessenen Tags. Wenn jemand klarstellen könnte, würde ich ihm oder ihr aufrichtig danken.
Antworten
Der Unterschied ergibt sich aus zwei verschiedenen Konventionen zur Angabe der Amplitude der stehenden Welle als Funktion von $x$.
Wenn Sie die Amplitude als nehmen $A(x) = A \sin (kx)$ dann
$y(x,t) = A(x) \cos (\omega t)$
und zwei beliebige Punkte sind in Phase, da beide den gleichen Phasenwinkel haben $\omega t$ jederzeit geben $t$.
Wenn Sie dagegen darauf bestehen, dass die Amplitudenfunktion immer Null oder positiv sein sollte, haben Sie $A(x) = |A \sin (kx)|$ und für die Hälfte der Punkte
$y(x,t) = A(x) \cos (\omega t)$
und für die andere Hälfte der Punkte
$y(x,t) = -A(x) \cos (\omega t) = A(x) \cos (\omega t + \pi)$
Zwei gegebene Punkte können dann entweder in Phase sein, weil sie zu einem bestimmten Zeitpunkt den gleichen Phasenwinkel haben, oder genau phasenverschoben, weil sich ihre Phasenwinkel immer um unterscheiden $\pi$.
Persönlich bevorzuge ich die erste Konvention (sie ist einfacher und verallgemeinert sich auf komplexe Wellenfunktionen), aber sie ist nicht universell, wie Ihre Beispiele zeigen.