Poisson-Prozesswahrscheinlichkeitsberechnung

Question

Ich habe den Poisson-Prozess $\{N(t)\}_{t\geq 0}$ mit Rate $\lambda=2$. Vorausgesetzt, dass vier Ereignisse während des Zeitintervalls auftreten$[0,2]$Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Ereignis vorzeitig auftritt? $t=1$?

Nach meinem Verständnis muss ich rechnen $\mathbb{P}(N(1)\geq1\mid N(2)-N(0)=4).$

Ich gehe also davon aus, dass ich die bedingte Wahrscheinlichkeitsformel \ begin {Gleichung} \ frac {\ mathbb {P} (N (1) \ geq 1, N (2) -N (0) = 4)} {\ mathbb {P verwenden muss } (N (2) -N (0) = 4)} \ end {Gleichung}

Ich kämpfe jetzt darum, den Schnittpunkt zwischen den beiden Teilen meines Zählers zu erkennen. Ich bin auch nicht zu sicher, dass meine Arbeitsweise für den Nenner korrekt ist. \ begin {Gleichung} \ mathbb {P} (N (2) -N (0) = 4) = e ^ {- 2} \ frac {(2) ^ 4} {4!} = e ^ {- 2} \ frac {2} {3} \ end {Gleichung} Könnte mir jemand erklären, wie man den Schnittpunkt im Zähler identifiziert und ob meine Berechnung für den Nenner korrekt ist?

Answer 1

In der Definition des Poisson-Prozesses wird davon ausgegangen, dass $N(0)=0$. [Ref. https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_point_process]

$N(2)-N(0)=N(2)$ ist Poisson mit Parameter $4$. Der Nenner ist also$e^{-4}\frac {4^{4}} {4!}$.

Hinweis für den Zähler: Let $X=N(1)$ und $Y=N(2)-N(1)$. Dann$X$ und $Y$ sind unabhängig mit $Poiss(2)$Verteilung. . Daher$P(X \geq 1, X+Y=4)= \sum\limits_{n=1}^{4} P(X=n) P(Y=4-n)=\sum\limits_{n=1}^{4}e^{-2} \frac {2^{n}} {n!} e^{-2}\frac {2^{4-n}} {(4-n)!}$. .