Positive definitive Definition

Question

Ich schaue mir die Notizen an http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf.

Es heißt, dass das Folgende für eine Symmetrie äquivalent ist $H$::

(1) $H$ ist definitiv positiv.

(2) $x^THx > 0$

(3) $\lambda_i(H) > 0$

(4) $\det(H) > 0$ ! ??????

(5) Diagonale Einträge von $H_{ii}$ sind positiv! ?????

(4) und (5) scheinen nicht dazu zu gehören. (4) ist eine notwendige Bedingung für$H$positiv definitiv zu sein, aber nicht ausreichend. Betrachten Sie a$2 \times 2$Matrix mit 2 negativen Eigenwerten. Die Matrix ist nicht positiv bestimmt, sondern hat eine positive Determinante. Ich habe noch nie von (5) gehört, es sei denn, es handelt sich um eine Diagonalmatrix. Ist das nicht auch falsch?

Answer 1

(4) ist falsch. Als Gegenbeispiel betrachten$H = -I$ wo $I$ ist der $2\times 2$Identitätsmatrix. Dann für jeden ungleich Null$x$, wir haben $x^T H x = -x^T x < 0$, damit $H$ ist nicht positiv definitiv.

(5) ist auch falsch. Erwägen$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, die Determinante hat $-3$. Dies bedeutet, dass einer seiner Eigenwerte negativ ist; speziell,$\lambda = -1$ ist ein Eigenwert mit beispielsweise Eigenvektor $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. Dann$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$, damit $H$ ist nicht positiv definitiv.