Primzahlen & gcd [Duplikat]

Question

Ich wollte mich nur über ein Problem informieren.

Lassen$m, p= \text{prime}∈ ℕ-\{0\}$

Wenn $$m≤p^k,$$

gibt es folgendes? $$\gcd⁡(m,p)≠1⟺ \gcd⁡(m,p^k)≠1$$ und macht die Einschränkung $$m≤p^k$$ Materie für die Existenz?

Danke im Voraus!!!

Answer 1

$m \le p^k$ist nicht nötig. Wenn gcd$(m,p) \neq1$ dann $m$ und $p$ muss einen gemeinsamen Faktor teilen, weil der einzige Faktor von $p$ ist $p$ (und eine, aber darüber müssen wir uns keine Sorgen machen) dann zumindest $p$ muss ein Faktor von sein $m$. Wenn wir uns jetzt gcd ansehen$(m,p^k)$ $p^k$ wird einen Faktor von haben $p$ und das wissen wir schon $m$ hat einen Faktor von $p$ und deshalb gcd$(m,p^k) \neq1$ da muss es mindestens gleich sein $p$. Zu keinem Zeitpunkt haben wir benötigt$m \le p^k$.