Problem der Wahrscheinlichkeitstheorie: Grenzdichte.

Question

Ich studiere 'Wahrscheinlichkeitstheorie' und kann nicht herausfinden, wie ich die Grenzdichte finden kann.

Das Problem ist :

Nehmen Sie A als Quadrat mit den Ecken bei (0,1), (1,0), (2,1), (1,2). Finden Sie die Randdichten von f = Indikatorfunktion von A.

Die Lösung ist :

Fix $x \in [0,2], \int_0^2 \mathbf{1}_A (x,y)\, dy = m(A_x)$daher $$ f_X(x) = \begin{cases} x, ~\text{for}~x \in [0,1] \\ 2-x, ~\text{for}~x \in [1,2] \\ 0, \text{otherwise} \end{cases} $$(Dreiecksverteilung). Aus Symmetriegründen gilt das Gleiche für$f_Y$.

Ich kann nicht herausfinden, wie man f_X (x) mit integriertem Teil findet!

Ich denke, f_X (x) sollte '2x' für x in [0,1], 4-2x für x in (1,2] und 0 für sonst sein.

Bitte gib mir einen Rat !!

Answer 1

Die gemeinsame Verteilung ist auf dem Quadrat gleichmäßig $A$,

So

$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{2}\mathbb{1}_{[(x,y)\in A]}$$

Machen Sie dann eine Zeichnung und berechnen Sie den Rand $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$

1. Wann $0<X<1$ Das Integral ist das folgende

$$f_X(x)=\frac{1}{2}\int_{1-x}^{x+1}dy=x$$

1. Wann $1<X<2$ Das Integral ist das folgende

$$f_X(x)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{3-x}dy=2-x$$

Das Ergebnis ist eine dreieckige Verteilung, die Sie kompakter schreiben können

$$f_X(x)=[1-|1-x|]\cdot\mathbb{1}_{[0;2]}(x)$$

Gleiches Ergebnis für $f_Y(y)$ unter Verwendung von Symmetrieeigenschaften