Projektionsmatrix multipliziert mit Projektionsmatrix.

Question

Lassen $X_1,X_2,...X_n$ Sein $n$ x $1$Vektoren. Lassen$X_j$ sei die aus den Vektoren zusammengesetzte Matrix $X_1,...,X_j$ und $X_i$ sei die aus den Vektoren zusammengesetzte Matrix $X_1,...,X_i$, wo $i<j$. Die Projektionsmatrizen 𝑃𝑋𝑗 und 𝑃𝑋𝑖 sind die den Matrizen zugeordneten Matrizen$X_j$ und $X_i$.

Wie kann das bewiesen werden? $PX_iPX_j=PX_i$?

Answer 1

Ihre Notation ist nicht zu glücklich. Nennen wir lieber die Matrizen$A_i=[X_1,\dots,X_i]$ und die orthogonalen Projektionen $P_i$ welches Projekt auf dem Gebiet von $A_i$dh auf ${\rm span}(X_1,\dots,X_i)$.

Jetzt müssen Sie das nur noch beweisen $P_UP_V=P_U$ wann immer $U\subseteq V$ Unterräume, wo $P_U$ bezeichnet die orthogonale Projektion in $U$.

Lassen $x$ sei ein beliebiger Vektor und lass $v=P_Vx\in V$, damit $x=v+w$ mit $w\perp V$. Dann$w\perp U$ auch und damit $P_Uw=0$, und $P_UP_Vx=P_Uv=P_U(v+w)=P_Ux$.