Quantenfelder als Differentialoperatoren
Soweit ich weiß, gab es zunächst zwei Formalismen für QM, bevor Dirac beide mit seiner berühmten Braket-Notation wieder vereinte:
Schrödingers Formalismus, bei dem Differentialoperatoren auf Wellenfunktionen einwirken,
Heisenbergs Formalismus, bei dem lineare Operatoren auf Vektoren einwirken.
Betrachten wir nun ein Skalarfeld $\phi$, das Quantenfeld $\hat{\phi}$ist ein Operator, also wirkt er auf Kets. Wir haben einen expliziten Ausdruck von$\hat{\phi}$ in Bezug auf die Vernichtungs- und Erstellungsoperatoren $a_{\mathbf {p} }$ und $a_{\mathbf {p} }^\dagger$::
$$ \hat{\phi} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p }{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^\dagger e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).$$
Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren stammen von Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren des harmonischen Oszillators. Diese können als Positions- und Impulsoperatoren ausgedrückt werden, die einen Ausdruck und einen Ausdruck von Differentialoperatoren haben. Gibt es also eine Möglichkeit zum Anzeigen?$\hat{\phi}$wie ein Differentialoperator, der auf Wellenfunktionen einwirkt (wie Schrödingers Formalismus)? Genauso wie$\hat{\mathbf{P}} = -i\hbar\nabla$zum Beispiel? Gibt es Literatur dazu?
Antworten
Nun, bei einer feldtheoretischen CCR mit gleicher Zeit $$ [\hat{\phi}({\bf x},t),\hat{\pi}({\bf y},t)]~=~i\hbar {\bf 1}~ \delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}),$$ es existiert die entsprechende Schrödinger-Darstellung $$\hat{\pi}({\bf x},t)~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta \phi({\bf x},t)}, \qquad \hat{\phi}({\bf x},t)~=~\phi({\bf x},t),$$ das schreibt das Impulsfeld $\hat{\pi}({\bf x},t)$als funktionelles Derivat . Siehe auch die Schrödinger-Funktion .
Nicht jeder Operator kann als Differentialform dargestellt werden - Spin ist ein gutes Beispiel.
Der Unterschied zwischen Heisenberg- und Schrödinger-Formalismus bestand jedoch nicht zwischen Differentialoperatoren und Matrizen. Schrödinger baute ein konsistentes quantenmechanisches Bild auf der Grundlage der Wellengleichung (die seinen Namen erhielt) - der Wellenmechanik , während Heisenberg die Matrixmechanik baute , bei der die Dynamik durch die Heisenberg-Bewegungsgleichung für Operatoren beschrieben wurde. Der Unterschied ähnelt dem zwischen den Hamilton-Jacobi-Gleichungen und den Poisson-Klammern in der klassischen Mechanik. Die Quantenmechanik bezieht sich immer noch ziemlich genau auf diese Unterscheidung, indem sie die Begriffe Schrödinger-Bild und Heisenberg-Bild für Situationen verwendet, in denen die Zeitabhängigkeit von Wellenfunktionen bzw. Operatoren getragen wird.
Ich glaube, ich weiß, was Sie fragen, also werde ich mit einigen groben Ideen antworten, die Ihnen helfen könnten, einen Einblick zu bekommen.
Jeder trennbare Hilbert-Raum ist isometrisch isomorph zu einem Raum $L^{2}(\mathbb{R}^n)$. Wenn ich einen trennbaren Hilbert-Raum habe$X$, Lassen $i:X\rightarrow L^2(\mathbb{R^n})$sei der Isomorphismus. Wenn$A$ ist ein Operator auf $X$ dann $A'$ ist ein Operator auf $L^2 (\mathbb{R}^n)$ wo $A' = i A i^{-1}$. Dies ergibt eine Entsprechung zwischen Operatoren für abstrakte Vektoren und Operatoren für Funktionen.
Der Hauptunterschied zwischen den Heisenberg- und Schrödinger-Bildern besteht darin, dass wir in Heisenberg die Operatoren als zeitlich veränderlich betrachten, während im Schrödinger-Bild die Operatoren fest und die Zustände selbst zeitabhängig sind. Mit anderen Worten, im Heisenberg-Bild haben wir einen festen Zustandsraum$X$ und wir haben einige Operatoren $A(t)$das wirkt darauf. Das$A(t)$ ist eine Gruppendarstellung in dem Sinne, dass $A(t + s) = U(s)A(t)U(s)^{-1}$ für eine einheitliche Transformation $U(s)$ das hängt reibungslos davon ab $s$. In der Quantenfeldtheorie bewegen wir uns von einer Zeitdimension zu vier Raum-Zeit-Dimensionen. Daher sollten wir Operatoren transformieren lassen als$A(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})A(x^{\mu})U(s^{\mu})^{-1}$.
Im Schrödinger-Bild betrachten wir Zustände als zeitabhängig. Es gibt also eine Kurve$\psi: \mathbb{R} \rightarrow X$Darstellung der Entwicklung des Staates im Laufe der Zeit. Dies muss sich auch einheitlich transformieren, damit$\psi(t + s) = U(s) \psi(t)$. Jetzt werden die Operatoren als fest angesehen. Im QFT-Szenario können wir Operatoren immer noch als fest behandeln und uns vorstellen, dass die Zustände sowohl räumlich als auch zeitlich abhängig sind. ich werde schreiben$\psi(x^{\mu})$aber verwechseln Sie dies nicht mit der herkömmlichen Wellenfunktion. Für einen bestimmten Punkt in der Raumzeit$\psi(x^{\mu})$ist selbst ein abstrakter Vektor in einem trennbaren Hilbert-Raum. Oder wir betrachten es äquivalent als eine Funktion in einem geometrischen Raum (wie dem Raum der Verschiebungen eines harmonischen Oszillators). Wir haben eine einheitliche Darstellung U der Lorentz-Gruppe, so dass$\psi(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})\psi(x^{\mu})$. Jetzt sind die Impuls- und Positionsoperatoren feste Operatoren.
Die traditionelle QFT verwendet tatsächlich so etwas wie das oben angegebene Heisenberg-Bild. Es ist jedoch möglich, es so zu formulieren, dass ein "Feld" als eine Funktion angesehen wird, die Raumzeitpunkte als Eingaben und Funktionen als Ausgaben verwendet. Dies ist vielleicht eher ein klassisches Feld. Es weist jedem Punkt in der Raumzeit eine Wellenfunktion zu. Dann wirken die Impuls- und Positionsoperatoren an jeder Stelle punktweise.