Realisierung eines kommutativen Quadrats als Pullback

Question

Ich versuche mich in einer lokal kleinen Kategorie zu beweisen$\mathsf{C}$das gegeben$f:a\to b$und$g:c\to d$dass die Menge der kommutativen Quadrate

$$ Sq(f,g) \;\; =\;\; \left \{ \begin{array}{ccc} a & \rightarrow & c \\ \downarrow^f & \quad & \downarrow^g \\ b& \rightarrow &d \\ \end{array} \right \} $$

kann als Pullback in der Kategorie realisiert werden$\mathsf{Set}$. Das einzige Ergebnis, das ich hier zu verwenden versuche, ist die Tatsache, dass die Grenzen von$\mathsf{Set}$-wertige Funktoren können als Entzerrer der Form realisiert werden

$$ \lim F \;\; \longrightarrow\;\; \prod_{j \in Ob(J)} Fj \;\; \rightrightarrows \;\; \prod_{f \in Mor(J)} F(cod\; f) $$

Beim Versuch, diese Equalizer-Anweisung im Kontext der Aussage zu interpretieren, war meine beste Vermutung, zu interpretieren

$$ \prod_{j \in Ob(J)} Fj \;\; =\;\; a\times c \hspace{2pc} \text{and} \hspace{2pc} \prod_{f \in Mor(J)} F(cod\; f) \;\; =\;\; b\times d. $$

Dann sollten die beiden Nicht-Identitäts-Morphismen Karten sein, die senden$a\to b$und$c\to d$, aber dann scheint die Beweisaussage vage wahr zu sein. Ich bin ehrlich verloren und suche nach Anleitung. Dies ist die Riehl-Aufgabe 3.2.iii.

Answer 1

Der Trick bei der Übersetzung einer Menge in eine universelle Eigenschaft besteht darin, zu beachten, dass „die Menge von allem$P$“ zerlegbar:

• $P$Hier erhalten Sie die Form Ihres Diagramms
• „Menge von allem“ ist der universelle Teil der universellen Eigenschaft

Nur zur Veranschaulichung, z$X$und$Y$setzt,$X\times Y$ist die "Menge aller Paare$(x,y)$zum$x\in X$und$y\in Y$", wobei der Paarteil das Diagramm ist$\{X\quad Y\}$, dann nimmt "set of all" die Grenze dieses Diagramms ein.

In diesem Fall versuchen wir, die Menge aller Kommutativquadrate mit zu nehmen$f$und$g$parallel. Die Interpretation des Ergebnisses, das Sie angeben, dass eine Grenze ein Equalizer von Produkten ist, sagt Ihnen, dass eine beliebige Grenze konstruiert werden kann (in$\mathbf{Set}$), indem alle Zutaten gesammelt (dh diese Produkte gebildet) und dann Beschränkungen unterworfen werden (dh der Equalizer gebildet wird). Für einen Pullback von$A\xrightarrow pB\xleftarrow qC$, ist das Equalizer-Diagramm$$ A\times_BC \to A\times B\times C \rightrightarrows B\times B $$wo die Karten$A\times B\times C\to B\times B$werden von gegeben$A\times B\times C\xrightarrow\pi A\times B\xrightarrow{p\times B} B\times B$(wo$\pi$ist eine Projektion) und ähnlich für$q$. Sie werden vielleicht bemerken, dass dies etwas überflüssig ist, und wir können den Pullback wirklich als Ausgleich ansehen$$ A\times_BC \to A\times C\rightrightarrows B $$der Karten$A\times C\to A\to B$und$A\times C\to C\to B$. Auf jeden Fall erlaubt uns dies, den Pullback zu interpretieren$A\times_BC$als „die Menge aller Paare$(a,c)$wofür$p(a)=q(c)$".

Was ist nun ein Kommutativquadrat?$f$und$g$? Nun, es ist ein Paar Morphismen$u:a\to c$und$v:b\to d$so dass$\require{AMScd}$ \begin{CD} a @>u>> c \\ @VfVV @VVgV \\ b @>>v> d \end{CD} pendelt; das ist,$g\circ u=v\circ f$. So,$\operatorname{Sq}(f,g)$ist „die Menge aller Paare$(u,v)$so dass$g\circ u=v\circ f$," was genau ein Pullback beschreibt!

Um den Job abzuschließen, müssen wir nur noch die Sets spezifizieren.$u$kommt von$\def\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom(a,c)$und$v$aus$\Hom(b,d)$, während die beiden Verbundwerkstoffe darin liegen$\Hom(a,d)$, also erhalten wir das Pullback-Quadrat \begin{CD} \operatorname{Sq}(f,g) @>>> \Hom(a,c) \\ @VVV @VVg\circ(-)V \\ \Hom( b,d) @>>(-)\circ f> \Hom(a,d) \end{CD}