Relative Primzahl zu $0$
Diese Frage ist allgemeiner, aber ich werde einen Satz verwenden, um sie zu motivieren.
Angenommen, ich möchte beweisen, dass es eine rationale gibt $r$ so dass $r^3 + r + 1 = 0$. Der erste Schritt ist anzunehmen, dass es eine solche gibt$r$, so $r = \frac{p}{q}$ wo $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ wo $p,q$ sind relativ erstklassig.
Hier ist meine Frage. Wenn das so ist$r$ wurden $0$ (Es ist nicht so, und ich kann es ausschließen, aber ich bin daran interessiert, ob ich es tatsächlich ausschließen muss, um die volle Genauigkeit zu erreichen.) $r = \frac{0}{q}$. Aber$0 \cdot 0 = 0$ und $0 \cdot q = 0$, also beides $p$ und $q$ haben einen gemeinsamen Faktor von $0$.
Aber $\gcd(p,q) = 1$immer noch seit $1 > 0$und es scheint nicht wichtig zu sein, ob $q$ ist negativ.
Aufgrund dessen komme ich zu dem Schluss, dass es eigentlich egal ist, ob $p = 0$und ich muss das nicht berücksichtigen. Ist das richtig? Wenn ich schrieb "annehmen$p$ und $q$ haben keine gemeinsamen Faktoren ", das ist schon ein bisschen mehrdeutig, weil sie sicherlich einen gemeinsamen Faktor haben $1$, aber die formellere "relativ erstklassige" Annahme scheint in Ordnung zu sein.
Antworten
Wenn wir ersetzen "$p,q$ sind relativ erstklassig "mit"$\frac pq$ ist in 'niedrigster Begriff' "würde es Ihre Meinung dazu ändern?
Wenn $q > 1$ dann $\frac 0q = \frac 01$ so $\frac 0q$ ist nicht in niedrigsten Begriffen.
Wenn wir die Notation von verwenden $\gcd$ und "relative Primzahl", obwohl die Argumentation dieselbe ist.
Wie $0\cdot q = 0$ Wir haben das $q$ ist ein Teiler von $0$ und so $\gcd(0, q) = q$ und wenn $q > 1$ dann $\gcd(0,q) = q$ und deshalb
Wenn $q>1$ dann $0$ und $q$ sind nicht relativ prim.
Aber $\gcd(0,1) = 1$ so
$0$ und $1$ sind relativ erstklassig.
Und wir können einfach weitermachen.
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Aber in Ihrer Analyse waren Sie verwirrt und haben eine Faltung gemacht.
Du sagst:
Aber 0⋅0 = 0 und 0⋅q = 0, also haben sowohl p als auch q einen gemeinsamen Faktor von 0.
Nicht ganz. wir haben$0\cdot q =0$. Sie nicht haben$0\cdot something = q$. So$0$ist KEIN Faktor von$q$. So$0$ist kein Faktor von irgendetwas außer von sich selbst.
Was Sie tun haben und gesagt haben sollte, weil$0\cdot q = 0$ und $1\cdot q = q$ das ist es $q$ (und nicht $0$) das ist ein gemeinsamer Faktor von $0$ und $q$.
In der Tat ist alles ein Faktor von$0$ so $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Denken Sie daran$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ denn wenn irgendetwas beides trennt $a$ und $b$ es teilt sich auch $-a$ und $-b$.)
Und $0$ und $q$ sind relativ erstklassige Mittel $\gcd(0, q) = 1$. Aber$\gcd(0, q) = |q|$ so zu haben $0$ und $q$ relativ erstklassig müssen wir haben $q = \pm 1$.
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Oh, ich sollte darauf hinweisen, wie Prasun Biswas mich korrigierte, dass, wenn wir definieren $\gcd(a,b)$und der "größte" gemeinsame Teiler, die meisten Texte bedeuten nicht unbedingt "größte" Größe, sondern "größte" Teilbarkeit. Wir definieren$a\preceq b$ um das zu bedeuten $a$ teilt $b$und das ist eine Teilordnung (nicht total, keine zwei Elemente vergleichen). Unter Verwendung dieser Reihenfolge ist der "größte" gemeinsame Teiler der gemeinsame Teiler, in den sich alle anderen gemeinsamen Teiler teilen.
Die Definition ist größtenteils dieselbe wie wenn $a,b$ sind beide positiv $a\preceq b \implies a \le b$. Und wenn$a,b$ Sind positive ganze Zahlen der größte gemeinsame Teiler in der Größe und der gemeinsame Teiler in der größten Teilbarkeit sind gleich.
Aber in diesem Fall teilt sich alles $0$, wir haben immer $q\preceq 0$ und $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ und $0$ist die Teilbarkeit größer als alle ganzen Zahlen. Also obwohl alle$q$ sind gemeinsame Teiler von $0$ und $0$, $\gcd(0,0) = 0$.