Rieman-Integration, diskontinuierliches Mapping

Question

Beweisen $f\in\mathcal{R}$, wann $f:[0,2]\to \Bbb{R}$, so dass $f(x)=x$ wann $x \neq 1$, und $f(x)=-1$, wann $x=1$. So$f$ hat eine Diskontinuität bei $1$.

Lassen $P$ eine Partition von sein $[0,2]$, so dass $P=\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots\frac{n-2}{n}<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\cdots2\}$.

Bei dieser Partition berücksichtigen wir nur die Teilintervalle, die links oder rechts von liegen $1$. Dies liegt am Subintervall$\Delta x_i$, der den Diskontinuitätspunkt enthält, hat kein Supremum $M_i$entsprechend. Lieber,$M_i$ ist willkürlich nahe an $1$ und das ist ein großer Kopfschmerz in Bezug auf den Beweis.

Hier ist der eigentliche Beweis. Lassen$P$wie oben sein. Dann$$U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n\Delta x_iM_i-\sum_{i=1}^n\Delta x_im_i=\frac{1}{n}\Biggr(\sum_{i=1}^nM_i-m_i\Biggr)$$

und in diesem Fall $\sum_{i=1}^nM_i-m_i=2-(-1)=3$. Ist das richtig?

Answer 1

Sie haben eine Partition ausgewählt $P$ mit Punkten

$$\underbrace{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\frac{n-2}{n}}_{x_0,x_1,\ldots, x_{n-2}},\,\underbrace{1+\frac{1}{n},\,1+\frac{2}{n},\,\cdots,\,2}_{x_{n-1}, x_{n-2},\ldots,x_{2n-1}}$$

In diesem Fall,

$$U(P,f) - L(P,f) = \sum_{j=1}^{2n-1}(M_j - m_j) (x_j - x_{j-1}) \\ =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n-2}\left(\frac{j}{n} - \frac{j-1}{n}\right) + \frac{3}{n}\left(1 + \frac{1}{n} -(-1) \right)+ \frac{1}{n}\sum_{j=2}^{n}\left(1+\frac{j}{n} - \left(1+\frac{j-1}{n}\right)\right)\\ = \frac{n-2}{n^2} + 3\frac{2+ 1/n}{n} + \frac{n-1}{n^2} = \frac{8}{n}, $$

was dazu neigt $0$ wie $n$ neigt dazu $\infty$.

Daher für jeden $\epsilon > 0$ Wir können eine Partition finden, bei der der Unterschied zwischen der oberen und der unteren Summe geringer ist als $\epsilon$und beweist das $f$ ist nach dem Riemann-Kriterium integrierbar.