Rotation, die den Hamilton-Operator diagonalisiert

Question

Ich bin auf folgende Frage gestoßen:

Angesichts des Hamiltonianers eines Spin-$1/2$ Partikel $$\hat{H}=\epsilon\begin{pmatrix} 0 & -e^{i\pi/4}\\ -e^{-i\pi/4} & 0 \end{pmatrix} = \frac{2\epsilon}{\hbar} \vec{S} \cdot \frac{\hat{y}-\hat{x}}{\sqrt{2}}$$

Was ist die Rotationstransformation, die diagonalisiert $\hat{H}$? Finden Sie den Drehwinkel$\theta$ und die Drehachse $\hat{n}$.

Finden der Matrix, die diagonalisiert $\hat{H}$ist nicht besonders schwierig. Zum Beispiel,

$$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1+i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1-i}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix}$$

macht den Job. Es wird dann jedoch behauptet, dass diese Matrix einer Transformation durch einen Winkel entspricht$\theta=\pi/2$ Über $\hat{n}=(\hat{x}+\hat{y})/\sqrt{2}$. Ich bin mir aber nicht ganz sicher, wie dies aus den Einträgen von sofort abgeleitet werden kann$U$. Außerdem glaube ich das nicht$U$ kann in eine Summe von zerlegt werden $\sigma_x$ und $\sigma_y$Pauli-Matrizen. Ich dachte darüber nach, direkt zu rechnen$\mathcal{D(\hat{n},\theta})=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\vec{S}\cdot \left(\frac{\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}\right)\right]$ (Rotationsoperator), um zu überprüfen, ob es mit übereinstimmt $U$in der relevanten Basis, aber es scheint zu anstrengend. Vielleicht vermisse ich etwas Triviales?

Answer 1

Verwenden Sie einfach die Standard- Potenzierung von Pauli-Matrizen , wenn Sie das wissen$\vec S =\hbar \vec \sigma /2$ für die Dublettdarstellung, die die Drehwinkel halbiert, $$ e^{-i{\pi\over 4}\vec \sigma \cdot { (\hat x + \hat y) \over \sqrt{2}} } = \cos (\pi /4) -i \vec{\sigma}\cdot \frac{(\hat x +\hat y)} {\sqrt{2}} ~ \sin (\pi/4)\\ = \frac{1}{\sqrt{2}} (I -i(\sigma_x+\sigma_y)/\sqrt{2})=U. $$

Es ist analog zu Eulers Formel.

Ich nehme an, Sie haben die Diagonalisierungsalgebra unter Verwendung der Eigenschaften von Pauli-Matrizen durchgeführt: kaum eine Berechnung!

• Es könnte Ihrer Intuition helfen, die beiden orthogonalen Einheitsvektoren zu berücksichtigen $\hat y \pm \hat x$ und um den zweiten um einen rechten Winkel um den ersten zu drehen: es wird dich mitnehmen $\hat z$, also eine Diagonale $\sigma_z$. Umgekehrt zu wissen$\sigma_z$ ist die einzige diagonale Pauli-Matrix, wie dreht man sich? $\hat y - \hat x$ zu $\hat z$? Offensichtlich durch eine π / 2-Drehung um ihr Kreuzprodukt als Achse! Zeichne die Figur.

Answer 2

REFERENZ: Meine Antwort auf Wie funktioniert die Hamilton - Änderungen , nachdem der Rahmen rotierenden Koordinaten .$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

Hinweis: Im Folgenden für die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ Ich benutze die Symbole $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ beziehungsweise. $\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

Der Hamilton-Operator ist die folgende hermitische spurlose Matrix
\ begin {Gleichung} H \ boldsymbol {=} \ alpha \ left (\ sigma_ {y} \ boldsymbol {-} \ mathrm \ sigma_ {x} \ right) \ ,, \ quad \ alpha \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ sqrt {2} \ epsilon} {\ hbar} \ tag {01} \ label {01} \ end {Gleichung} Aus der Bijektion zwischen hermitischen spurlosen Matrizen und reellen 3-Vektoren (diskutiert) In Absatz '' Die Begründung '' der oben genannten REFERENZ) ist der repräsentative reelle 3-Vektor dieses Hamilton-Operators \ begin {Gleichung} \ mathbf {h} \ boldsymbol {=} \ alpha \ left (\ mathbf {j} \ boldsymbol { -} \ mathbf {i} \ right) \ tag {02} \ label {02} \ end {Gleichung} wie in Abbildung 01 gezeigt.

Wenn der Hamiltonianer $H'$ der Gleichung \ eqref {01} muss in eine diagonale transformiert werden $H'$dann müssen wir \ begin {Gleichung} H '\ boldsymbol {=} c \, \ sigma_ {z} \ ,, \ quad c \ in \ mathbb {R} \ tag {03} \ label {03} \ end {haben Gleichung} Der obige Ausdruck ist gerechtfertigt, weil nicht nur$\sigma_{z}$ ist eine diagonale Einsiedlermatrix, aber darüber hinaus spurlos ($H'$ muss spurlos sein, da die Spur bei Ähnlichkeitstransformationen unveränderlich ist).

Zur transformierten diagonalen hermitischen spurlosen Matrix $H'$dort entspricht der repräsentative reelle 3-Vektor \ begin {Gleichung} \ mathbf {h '} \ boldsymbol {=} c \, \ mathbf {k} \ tag {04} \ label {04} \ end {Gleichung} Wenn die Transformation muss eine Drehung sein, dann der Vektor$\mathbf{h'}$ der Gleichung \ eqref {04} ist das Bild des Vektors $\mathbf{h}$von Gleichung \ eqref {02} also \ begin {Gleichung} \ Vert \ mathbf {h '} \ Vert \ boldsymbol {=} \ Vert \ mathbf {h} \ Vert \ quad \ boldsymbol {\ Longrightarrow} \ quad c \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ alpha \ tag {05} \ label {05} \ end {} Gleichung das heißt\begin{align} H'&\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\sigma_{z} \tag{06a}\label{06a}\\ \mathbf{h'} &\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\mathbf{k} \tag{06b}\label{06b} \end{align} wie in Abbildung 01 gezeigt.

Die einfachste Drehung, die den Vektor bringt $\mathbf{h}$ auf Vektor $\mathbf{h'}$ ist um einen Einheitsvektor $\mathbf{n}$ durch einen Winkel $\theta$ gegeben durch \begin{align} \mathbf{n}&\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\boldsymbol{+}\mathbf{j}}{\sqrt{2}} \tag{07a}\label{07a}\\ \theta &\boldsymbol{=}\dfrac{\pi}{2} \tag{07b}\label{07b} \end{align}in Abbildung 01 gezeigt. Diese Drehung wird durch die folgende spezielle einheitliche Matrix dargestellt$SU(2)$ \ begin {Gleichung} \ boxed {\: \: U _ {\ mathbf {n}, \ theta} \ boldsymbol {=} \ cos \ frac {\ theta} {2} \ boldsymbol {-} i (\ mathbf {n } \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ sigma}) \ sin \ frac {\ theta} {2} \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {- } i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}} \ right) \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b }}} \: \:} \ tag {08} \ label {08} \ end {Gleichung}

Mit den Eigenschaften von Pauli-Matrizen konnte dies leicht überprüft werden $U_{\mathbf{n} ,\theta}$ diagonalisiert den Hamiltonianer $H$, das heißt \ begin {Gleichung} U _ {\ mathbf {n}, \ theta} \, H \, U ^ {*} _ {\ mathbf {n}, \ theta} \ boldsymbol {=} H '\ tag { 09} \ label {09} \ end {Gleichung} oder explizit \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {-} i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}} \ right) \, \ left (\ sigma_y \ boldsymbol {-} \ sigma_x \ vphantom {\ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt { 2}}} \ right) \, \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {+} i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt { 2}} \ right) \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ sigma_z \ tag {10} \ label {10} \ end {Gleichung}

Beachten Sie, dass es unendlich viele Rotationen gibt, die den Vektor bringen $\mathbf{h}\boldsymbol{=}\alpha\left(\mathbf{j}\boldsymbol{-}\mathbf{i}\right)$ der Gleichung \ eqref {02} zum Vektor $\mathbf{h'}\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\mathbf{k}$ von Gleichung \ eqref {06b}, so gibt es unendlich viele einheitliche Matrizen wie die von Gleichung \ eqref {08}, die den Hamilton-Operator diagonalisieren $H\boldsymbol{=}\alpha\left(\sigma_{y}\boldsymbol{-}\mathrm \sigma_{x}\right)$der Gleichung \ eqref {01}. Zum Beispiel eine Drehung um einen Einheitsvektor$\mathbf{m}$ durch einen Winkel $\phi$ gegeben durch \begin{align} \mathbf{m}&\boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{-}\mathbf{i}\boldsymbol{+}\mathbf{j}\boldsymbol{+}\sqrt{2}\mathbf{k}}{2} \tag{11a}\label{11a}\\ \phi &\boldsymbol{=}\pi \tag{11b}\label{11b} \end{align}wie in Abbildung 02 gezeigt, diagonalisiert der Hamilton-Operator. Die entsprechende spezielle einheitliche Matrix lautet \ begin {Gleichung} \ boxed {\: \: U _ {\ mathbf {m}, \ phi} = \ cos \ frac {\ phi} {2} -i (\ mathbf {m} \ Boldsymbol {\ cdot} \ Boldsymbol {\ sigma}) \ sin \ frac {\ phi} {2} = \ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right ) \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b}} \: \:} \ tag {12} \ label {12} \ end {Gleichung} Wiederum konnte leicht anhand der Eigenschaften von Pauli-Matrizen überprüft werden, dass$U_{\mathbf{m} ,\phi}$ diagonalisiert den Hamiltonianer $H$, das heißt \ begin {Gleichung} U _ {\ mathbf {m}, \ phi} \, H \, U ^ {*} _ {\ mathbf {m}, \ phi} \ boldsymbol {=} H '\ tag { 13} \ label {13} \ end {Gleichung} oder explizit \ begin {Gleichung} \ left [\ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right) \ rechts] \, \ links (\ sigma_y \ boldsymbol {-} \ sigma_x \ vphantom {\ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}}} \ rechts) \, \ left [\ boldsymbol {-} \ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right) \ right] \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ sigma_z \ tag { 14} \ label {14} \ end {Gleichung}