Rotation Kinetic Energy Conservation

Question

Stellen Sie sich eine Kette um zwei Zahnräder mit einem Radius vor $r_1$ und der andere von $r_2$. Sag die Ausrüstung$r_1$ ist an einer Drehvorrichtung angebracht, die Drehmoment liefert $\tau$. Nach einem viertel Rotationszyklus haben Sie Energie eingegeben$E = \tau\cdot\pi/4$ Rotationsenergie in das System.

Angenommen, Sie haben das gleiche System, aber diesmal einen Gang $r_2$ wird durch ein anderes Zahnrad mit Radius ersetzt $r_3$ wo $r_3>r_2$. Wieder drehen Sie es mit Drehmoment$ \tau$ für einen viertel Zyklus, damit Sie die gleiche Energie im System haben.

Meine Fragen sind:

1. Würde System 2 (mit Gang $r_3$) schneller drehen als System 1 (mit Zahnrad $r_2$)? Ich denke es wäre da da ein größeres Zahnrad ist.

2. Wenn es sich schneller dreht, wie ist das zu rechtfertigen? Sie geben die gleiche Energie in beide Systeme ein, aber eines dreht sich schneller als das andere.

Vielen Dank für jede Hilfe.

Zur Verdeutlichung bearbeiten:

1. Ich frage nach der Winkelgeschwindigkeit des ersten Gangs in beiden Systemen
2. Die Drehvorrichtung ist konzentrisch mit dem ersten Gang verbunden

Answer 1

Lassen Sie uns hier einige vereinfachende Annahmen treffen:

1. Die Zahnräder sind viel leichter als die Kette, daher können wir davon ausgehen, dass sich die gesamte Masse außerhalb der Zahnräder in der Kette selbst befindet.

2. Die Ketten wickeln sich rund um das Zahnrad. Dies ist wahrscheinlich weniger realistisch, aber auf diese Weise können wir das System als zwei dünne Reifen behandeln, die gezwungen sind, sich mit derselben linearen Geschwindigkeit zu drehen. Ich denke nicht, dass dies die Gesamtanalyse durcheinander bringt.

3. Die Kette hat eine gleichmäßige lineare Massendichte $\lambda$.

Daher ein Zahnrad mit Radius $R$ wird eine Masse von haben $m=2\pi R\lambda$ und ein Moment der Trägheit von $I=mR^2=2\pi R^3\lambda$ Angesichts der Einschränkung, dass die Zahnräder durch die Kette verbunden sind, muss es außerdem sein, dass die Zahnräder die gleiche Lineargeschwindigkeit haben $v=\omega_1R_1=\omega_2R_2$ an ihren Rändern.

Die kinetische Energie des Zwei-Gang-Systems wird dann sein

$$K=\frac12I_1\omega_1^2+\frac12I_2\omega_2^2=\pi\lambda R_1^2(R_1+R_2)\omega_1^2$$

Wie Sie sehen, ist der Arbeitsaufwand bei gleichem Arbeitsaufwand umso größer $R_2$ ist, je kleiner $\omega_1$wird sein. Je größer der zweite Gang, desto langsamer dreht sich alles.

Answer 2

Unter der Annahme, dass es keine anderen Dinge gibt, dreht sich das größere System aufgrund seines größeren Trägheitsmoments langsamer.

So wie die gesamte kinetische Energie im ersten System unter der Annahme einer masselosen Kette durch die Winkelgeschwindigkeiten gegeben ist $\omega_{1,2}$ wie $$ K=\frac12 I_1\omega_1^2 +\frac12 I_2\omega_2^2 $$wo die Trägheitsmomente sind $I_{1,2}.$ Die Kette zwischen ihnen zwingt $r_1\omega_1=r_2\omega_2$ wenn es straff ist, so ist das $$K =\frac12\left(I_1(r_2/r_1)^2+I_2\right)\omega_2^2$$ und wenn die Zahnräder eine ähnliche Konstruktion haben (Material gleicher Dicke, aber ansonsten von einer Größe zur anderen vergrößertes Muster), haben Sie $I_1 =(r_1/r_2)^4 I_2$ allein aus der Dimensionsanalyse, so dass Sie eine Rate haben $$\omega_1=\frac{r_2}{r_1} ~\frac{\tau\cdot\pi/4}{I_2(1+(r_1/r_2)^2)}.$$

Also wenn $s=r_{1,3}/r_2$ Sie haben einen Begriff, der wie geht $1/(s +s^3),$ es nimmt ab als $s$erhöht sich. Größere Systeme drehen sich bei gleicher Energie langsamer.

Answer 3

Wir bekommen die Energiegleichung $$\tau \cdot \theta = \frac {I_1 \omega_1^2}{2} + \frac {I_2 \omega_2^2}{2}$$.

Wenn die beiden Zahnräder aufeinander abgestimmt sind, ist ihre lineare Geschwindigkeit an den Kanten gleich. Also bekommen wir die Gleichung$\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$.

Das Trägheitsmoment eines Zahnrades sei $I = k m r^2$. Unter der Annahme, dass die Zahnräder aus dem gleichen Material bestehen, ist ihre 2D-Dichte -$\sigma$(Masse pro Flächeneinheit) ist konstant. Damit,$I = k (\sigma \pi r^2) r^2$dh $I = k' r^4$

Ersetzen $r_1 = \frac {\omega_2 r_2}{\omega_1}$ und $I_n = k' r_n^4$ in der Energiegleichung erhalten wir $$ \tau \cdot \theta = \frac {k' \omega_2^2 r_2^2}{2} (r_1^2 + r_2^2)$$ Wie $\tau \cdot \theta $ ist in beiden Fällen konstant, $$ \omega_2 = \frac {k''}{r_2 \sqrt{r_1^2 + r_2^2}}$$ Also wann $r_2$ wird auf erhöht $r_3$ist aus der Gleichung ersichtlich, dass $\omega_2$wird reduzieren zu$\omega_3$.

Das größere Zahnrad dreht sich nur dann schneller, wenn seine Dichte ausreichend niedriger als die des kleineren Zahnrads ist, um sein Trägheitsmoment zu verringern.