Schubert-Kalkül

Question

Lassen $X = Gr(2,4)$ der komplexe Grassmannian von $2$-Ebenen in $V = \Bbb C^4$ und $S$ das tautologische Bündel, $Q$das Quotientenbündel. Der Kohomologiering wird generiert von$c_1(S), c_2(S)$ mit Beziehungen $c(S)c(Q) = 1$, aus der kurzen exakten Folge von Vektorbündeln $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Man sollte bekommen $c_1(S)^4 = 1$rein aus diesen Beziehungen, aber ich bin nicht in der Lage, dies zu tun. Kann jemand erklären, wie es geht?

Answer 1

Zunächst, $c_1(S)^4 = 2$, nicht 1. Die Berechnung selbst ist recht einfach. Lassen Sie mich bezeichnen$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Dann sind die Beziehungen$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ Der erste gibt $b_1 = -a_1$gibt der zweite $b_2 = a_1^2 - a_2$und die letzten beiden geben $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Eine Kombination der letzten beiden Gleichungen ergibt $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ daher $a_1a_2^2 = 0$. Dies bedeutet, dass der Kohomologiering überspannt wird$\mathbb{Z}$ durch $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, und das $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ was sich in der erforderlichen Gleichheit niederschlägt $c_1(S)^4 = 2$.