Semidefinitives Programm für bedingte glatte Maximalentropie

Question

Mir ist eine SDP-Formulierung für eine reibungslose Min-Entropie bekannt : Frage-Link. Dieses Programm für die glatte Min-Entropie wurde in diesem Buch von Tomachiel gefunden: Seite 91. Ich muss jedoch noch auf eine halbbestimmte Formulierung für die glatte Max-Entropie stoßen. Es gibt jedoch eine Formulierung für die nicht geglättete Version der Max-Entropie, die in diesem Link zu finden ist: Seite 4, Lemma 8. Hier ist das detaillierte Programm für einen zweiteiligen Dichteoperator$\rho_{AB}$, $2^{H_{\text{max}}(A|B)_\rho}$ =
$$ \text{minimize }\lambda \\ \text{subject to} \\ Z_{AB} \otimes \mathbb{I} \ge \rho_{ABC} \\ \lambda \mathbb{I}_B \ge \text{tr}_A [Z_{AB}] \\ Z_{AB} \ge 0 \\ \lambda \ge 0 $$

Wo $Z_{AB}$ läuft über alle positiven semi-definitiven Operatoren in $\mathcal{H}_{AB}$, $\lambda$ist eine reelle Zahl. Die glatte Maximalentropie ist dann:$$ H^{\epsilon}_{\text{max}}(A|B)ρ := \underset{\rho'_{AB} \in \mathcal{B}^\epsilon (\rho_{AB})}{\min}H_{\text{max}}(A|B)_{\rho'} $$ dh nur das Minimum über alle zweigeteilten Operatoren, die höchstens sind $\epsilon$ Entfernung von $\rho_{AB}$. Die ursprüngliche oder duale SDP-Formulierung für die glatte Version der Max-Entropie wurde jedoch nirgendwo gefunden. Ist dort eines? Wie könnte ich es in eine reibungslose Version verwandeln? TIA.

Answer 1

Ja, Sie können die glatte Maximalentropie als SDP formulieren. Der Autor des Buches, das Sie verlinkt haben, merkt dies an, wenn er erklärt, wie der SDP für die glatte Min-Entropie abgeleitet wird, auf die Sie auf Seite 91 verweisen.

Insbesondere sagen sie, dass die Glättungsbeschränkung $\tilde{\rho}_{AB} \in B^\epsilon(\rho_{AB})$ kann als das Dreifache der Einschränkungen umformuliert werden $$ \mathrm{Tr}[\tilde\rho_{ABC} \rho_{ABC}] \geq 1- \epsilon^2~\\ \mathrm{Tr}[\tilde\rho_{ABC}] \leq 1 ~\\ \tilde \rho_{ABC} \geq 0 $$ wo $\rho_{ABC}$ ist jede Reinigung von $\rho_{AB}$.

Jetzt können wir diese zusätzlichen Einschränkungen in die SDP-Formulierung von einbeziehen $H_{\max}(A|B)$. Speziell$$ \begin{aligned} 2^{H^\epsilon_{\max}(A|B)_\rho} &= \min_{\tilde{\rho}_{AB} \in B^\epsilon(\rho_{AB})} 2^{H_{\max}(A|B)_{\tilde\rho}} \\ &= \min_{\tilde{\rho}_{AB} \in B^\epsilon(\rho_{AB})}\min \lambda \\ &\qquad\mathrm{s.t.} \quad Z_{AB} \otimes I_C \geq \tilde\rho_{ABC} \\ &\qquad \qquad \lambda I_B \geq \mathrm{Tr}_A[Z_{AB}] \\ &\qquad\qquad Z_{AB} \geq 0, \quad \lambda \geq 0 \\ &= \,\,\,\min \quad\lambda \\ &\qquad\mathrm{s.t.} \quad Z_{AB} \otimes I_C \geq \tilde\rho_{ABC} \\ &\qquad \qquad \lambda I_B \geq \mathrm{Tr}_A[Z_{AB}] \\ &\qquad \qquad \mathrm{Tr}[\tilde\rho_{ABC} \rho_{ABC}] \geq 1- \epsilon^2~\\ &\qquad \qquad \mathrm{Tr}[\tilde\rho_{ABC}] \leq 1 ~\\ &\qquad\qquad \rho_{ABC} \geq 0, \quad Z_{AB} \geq 0, \quad \lambda \geq 0 \\ \end{aligned} $$