Sheafification von ständigem Presheaf

Question

Ich lese über Sheafification, aber es ist zu abstrakt für mich. Ich versuche, das Beispiel der Garbenbildung eines konstanten Presheaf zu erarbeiten, und mein Berater gibt mir dieses Beispiel: Lassen Sie$X$ ein topologischer Raum sein und $A$sei eine abelsche Gruppe. Lassen$\mathfrak{A}^+$ das Presheaf kontinuierlicher Funktionen sein, dh $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ wo $A$ hat die diskrete Topologie für jeden offenen Satz $U$. Er möchte, dass ich drei Dinge zeige:

(1) $\mathfrak{A}^+$ ist ein Bündel abelscher Gruppen.

(2) Alle Stiele $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) Die natürliche Karte $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ von der konstanten Garbe induziert ein Isomorphismus auf Stielen

(1) ist einfach, da eine Funktion ist $0$ wenn ja $0$örtlich. Ich denke, (2) und (3) sollten einfach sein, da wir nicht viele Informationen haben, aber seltsamerweise weiß ich nicht, wie ich sie verwenden soll.

In (2) kenne ich die Karten $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ wann $V\subseteq U$ist nur eine Einschränkung. Per Definition der Stiel$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. Aber wie konvertiert man die Definition (Gruppe von stetigen Funktionen) in$A$? Ich habe sogar das Gefühl, dass uns hier Informationen fehlen, da wir nicht einmal die Struktur offener Sets kennen$X$, und ich sehe keine natürliche Karte von der direkten Grenze bis $A$.

(3) ist für mich noch mehrdeutiger. Sagen$U$ist offen. Wie ordnen Sie ein Element auf natürliche Weise zu?$A=\mathfrak{A}$zu einer Funktion $U\to A$ im $\mathfrak{A}^+$? Ich weiß, dass die Karten einem Diagramm entsprechen$f_U(a)|_V=f_V(a)$ wo $V\subseteq U$sind offene Sätze. Nach (2) sind die Stiele von beiden$A$, aber ich glaube nicht, dass die induzierte Karte die Identität sein würde, daher ist es für mich schwieriger zu verstehen, warum dies eine ISO ist?

Ich bin nur ein Anfänger in der algebraischen Geometrie, daher können diese Fragen offensichtlich sein. Vielen Dank.

Answer 1

(1) Viel allgemeiner (und daher viel einfacher!):
Bei einem beliebigen topologischen Raum$Y$ da ist eine Garbe $\mathcal C_Y$ auf $X$ gekennzeichnet durch die Anforderung, dass für jede offene Teilmenge $U\subset X$ wir haben $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$, die Menge der stetigen Funktionen $U\to Y$.
Ihre$ \mathfrak A^+$ ist genau die Garbe $\mathcal C_A$, wo $A$ ist mit der diskreten Topologie ausgestattet.

(2) Wir haben einen Morphismus abelscher Gruppen $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ wie folgt definiert: gegeben ein Keim $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ Wir repräsentieren es durch eine kontinuierliche Funktion $g:U\to A$ und wir definieren $i(\gamma)=g(x)$.
Dieser Morphismus ist ein Isomorphismus, da er den Gruppenmorphismus ebenso explizit invers hat$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ Senden $a\in A$ zu $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, der Keim bei $x$ der konstanten Funktion $\operatorname {const}(a): X\to A$ Senden eines beliebigen Punktes von $X$ zu $a$.

(3) Für jede Nachbarschaft $U\subset X$ von $x$ die Karte $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ ist eindeutig injektiv und nimmt somit direkte Grenzen der Karte $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ist auch injektiv.
Surjektivität ist auch einfach: in der Notation von (b) einem Keim$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ ist das Bild unter $f$ des Keims $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
Und so haben wir bewiesen, dass der Morphismus$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ ist in der Tat bijektiv.