Spektrum eines $\ell^2$-Operator

Question

Ich muss das Spektrum finden $\sigma(T)$ des folgenden Operators auf $\ell^2$ (reale Sequenzen):

$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$

aber ich habe einige Probleme (gestern habe ich eine ähnliche Frage gestellt und es wurde darauf hingewiesen, dass der Bediener kompakt war, dies aber nicht)

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Nehmen $y \in \ell^2$ und nehmen an $(T-\lambda)x=y$haben wir folgende Beziehungen:

$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$

von diesen erhalten wir

$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$

Jetzt weiß ich nicht, wie ich feststellen soll, ob $x \in \ell^2$.

Answer 1

EDIT: Dies gilt nicht für die Frage. Siehe unten.

Bezeichnen Sie den Operator als $P$. Es sollte klar sein, dass$P$ ist eine Projektion; $P^2=P^*=P$. Für jede Projektion ist das Spektrum eine Teilmenge von$\{0,1\}$, mit höchstens einer davon ausgenommen. In allen anderen Fällen können wir eine explizite Umkehrung definieren:$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. Dies kann über die folgende Berechnung überprüft werden:\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} Die Tatsache, dass dies eine zweiseitige Umkehrung ist, ergibt sich aus der Markierung der gesamten Gleichung, die nichts anderes tut, als die Reihenfolge der Multiplikation umzukehren.

HIER BEARBEITEN: Der Operator $T$ oben dauert $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$und verschiebt sich dann bei den nächsten Indizes vorwärts. Dies bedeutet, dass$T$ hat eine Zersetzung als $I_3\oplus R$, wo $I_3$ ist der $3\times 3$ Identitätsoperator und $R$ist der richtige Schichtführer. Das Spektrum der direkten Summe endlich vieler Operatoren ist die Vereinigung ihrer Spektren. Das Spektrum des Identitätsoperators ist$1$und das Spektrum des rechten Schaltoperators ist die geschlossene Einheitsscheibe $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. Also das Spektrum von$T$ ist die geschlossene Einheitsscheibe.