Stabilität eines Systems im Zeitbereich

Question

Stellen Sie sich ein System vor, für das die Eingabe erfolgt $x(t)$ und Ausgabe $y(t)$ sind durch die Differentialgleichung verwandt $$\frac{d^2y(t)}{dt^2} + \frac{3}{2}\frac{dy(t)}{dt} - y(t) = x(t) \tag{1}$$Bestimmen $h(t)$ für jeden der folgenden Fälle:

1. Das System ist stabil.
2. Das System ist kausal.

Mein Versuch: Ich weiß, dass diese Frage mit der Laplace-Transformation leicht gelöst werden kann, aber ich versuche, sie im Zeitbereich zu lösen. Da davon ausgegangen wird, dass das System linear ist, entspricht die Kausalität: Für jede Zeit$t_0$ und jede Eingabe $x(t)$ so dass $x(t) = 0$ zum $t \lt t_0$, die entsprechende Ausgabe $y(t)$ muss auch Null sein für $t < t_0$. Dies ist die anfängliche Ruhebedingung und wir können sie leicht lösen$(1)$durch Methoden wie diese .

Die Stabilität eines LTI-Systems entspricht $$\int_{-\infty}^{+\infty}|h(\tau)|d\tau<\infty$$

Wie diese Bedingung zur Lösung verwendet werden kann $(1)$im Zeitbereich? Können wir unter dieser Bedingung Anfangsbedingungen erhalten?

Answer 1

Lösen der charakteristischen Gleichung

$$s^2+\frac32 s-1=0\tag{1}$$

ergibt die folgende homogene Lösung:

$$y(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{t/2}\tag{2}$$

Die Anforderungen an Kausalität und Stabilität werden durch Auswahl mindestens einer der Konstanten berücksichtigt $c_1$ und $c_2$ für beide Null sein $t>0$ oder $t<0$. Wenn wir nach einer kausalen Lösung suchen, wissen wir das$y(t)=0$ zum $t<0$dh

$$y_c(t)=\big[c_1e^{-2t}+c_2e^{t/2}\big]u(t)\tag{3}$$

was als Auswahl interpretiert werden kann $c_1=c_2=0$ im $(2)$ zum $t<0$.

Für eine stabile Lösung benötigen wir $c_2=0$ zum $t>0$weil Stabilität bedeutet, dass es kein exponentielles Wachstum geben kann. Aus dem gleichen Grund benötigen wir$c_1=0$ zum $t<0$::

$$y_s(t)=c_1e^{-2t}u(t)+c_2e^{t/2}u(-t)\tag{4}$$

Gl $(3)$ und $(4)$sind die allgemeinen Formen der Lösungen angesichts der Anforderungen an Kausalität bzw. Stabilität. In beiden Fällen die Konstanten$c_1$ und $c_2$ werden dadurch bestimmt $y''+\frac32 y'-y$ entspricht einem Dirac-Delta-Impuls mit Gewicht $1$.

Beachten Sie, dass bei der Berechnung der Ableitungen von $(3)$ und $(4)$ Sie müssen die Produktregel verwenden:

$$\big[f(t)u(t)\big]'=f'(t)u(t)+f(t)u'(t)=f'(t)u(t)+f(t)\delta(t)\tag{5}$$

Das Lösen solcher Probleme mit der Laplace-Transformation ist in der Tat viel weniger mühsam.

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Als Beispiel werde ich zeigen, wie man zu den Werten von kommt $c_1$ und $c_2$ für die kausale Lösung $(3)$. Definieren$f(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{t/2}$. Mit$y_c(t)=f(t)u(t)$, die Derivate von $y_c(t)$ sind

$$\begin{align}y_c'(t)&=f'(t)u(t)+f(t)\delta(t)=f'(t)u(t)+f(0)\delta(t)\\y_c''(t)&=f''(t)u(t)+f'(t)\delta(t)+f(0)\delta'(t)=f''(t)u(t)+f'(0)\delta(t)+f(0)\delta'(t)\end{align}$$

Wir müssen die Differentialgleichung erfüllen $y_c''(t)+\frac32 y_c'(t)-y_c(t)=\delta(t)$. Folglich ist der Begriff$f(0)\delta'(t)$ muss verschwinden:

$$f(0)=c_1+c_2=0$$

Darüber hinaus müssen sich die den Dirac-Delta-Impulsen zugeordneten Koeffizienten addieren $1$::

$$f'(0)+\frac32 f(0)=1$$

Dies führt zu der Anforderung $$-2c_1+\frac12 c_2+\frac32 (c_1+c_2)=1$$

was dazu führt $c_1=-\frac25$ und $c_2=\frac25$.

Genauso können Sie die Koeffizienten der stabilen Lösung ableiten $(4)$, was in ... endet $c_1=c_2=-\frac25$.