Summe der positiven Eigenwerte.

Question

Wir wissen, dass die Spur einer Matrix die Summe der Eigenwerte der gegebenen Matrix ist. Angenommen, wir kennen das Polynom der Eigenschaften der Matrix. Gibt es ein Ergebnis, das uns die Summe der positiven Eigenwerte der Matrix gibt?

Beachten Sie, dass ich nur die Summe der positiven Eigenwerte benötige ... nicht alle Eigenwerte.

Answer 1

Dies ist im Wesentlichen genauso schwierig wie das Finden der einzelnen Eigenwerte ...

... insbesondere, weil , wenn es einfach wäre, könnten Sie verwenden es , die einzelnen Eigenwerte zu finden.

Aus dem charakteristischen Polynom einer Matrix $A$ist es leicht, das charakteristische Polynom von zu erhalten $A-kI$und die Summe aller positiven Eigenwerte von $A-kI$ ist gleich der Summe aller Eigenwerte größer als $k$ von $A$. Insbesondere wenn$k$ liegt zwischen dem größten Eigenwert und dem zweitgrößten, ist diese Summe nur der größte Eigenwert von $A$.

Wir können eine solche finden $k$ bei binärer Suche (beachten Sie, dass insbesondere die Summe der positiven Eigenwerte von $A$ ist eine Obergrenze für den größten Eigenwert von $A$, also haben wir eine Reihe zu arbeiten).

Sobald wir den größten Eigenwert von herausgefunden haben $A$könnten wir dies erklären und einen ähnlichen Prozess verwenden, um den zweitgrößten Eigenwert, den drittgrößten usw. zu finden.

---

Beachten Sie, dass "genauso schwer wie das Finden der einzelnen Eigenwerte" bedeutet, dass es insbesondere keine genaue Formel zum Finden dieser Summe geben kann, wenn die Matrix ist $5\times 5$ oder größer - im Gegensatz zur Summe aller Eigenwerte, die nur die Spur ist.

Answer 2

Lassen $C$sei eine große positiv ausgerichtete quadratische Kontur mit der linken Seite der Kontur entlang der imaginären Achse. Dann$$ p(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{r_n} \\ \frac{p'(\lambda)}{p(\lambda)}=\frac{r_1}{\lambda-\lambda_1}+\frac{r_2}{\lambda-\lambda_2}+\cdots+\frac{r_n}{\lambda-\lambda_n} \\ \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\lambda\frac{p'(\lambda)}{p(\lambda)}d\lambda = \sum_{\lambda_j > 0}r_j\lambda_j = \mbox{sum of roots in the right half-plane} $$Wenn Sie wissen, dass alle Wurzeln echt sind, haben Sie, was Sie wollen. Wenn nicht, können Sie nahe genug an der realen Achse integrieren und nur die Wurzeln auf der realen Achse summieren. Sie werden nach Multiplizität summiert.