Summe des Vektorraums

Question

Die Frage, an der ich arbeite, lautet wie folgt:

Annehmen $U_1$ und $U_2$ Teilräume eines Vektorraums sein $V$. Zeige, dass$U_1+U_2$ entspricht dem Schnittpunkt aller Teilräume von $V$ das beinhaltet $U_1 \cup U_2$.

Mein Versuch:

Lassen $K = \bigcap_{i = 0}V_i$ sei der Schnittpunkt aller Teilräume, so dass $U_1$ $\cup$ $U_2$ $\subseteq V_i$ für alle $i$. Lassen$U = U_1+U_2 = \{x + y \in V : x \in U_1, y \in U_2\}$. Das müssen wir zeigen$U \subseteq K$ und $K \subseteq U$.

Da der Schnittpunkt von Unterräumen zu einem anderen Unterraum führt, wissen wir, dass K ein Unterraum ist. Da Subspaces unter Addition geschlossen sind, haben wir das für$x,y$ im $K$, $x+y\in K$. Lassen$x$ und $y$ Elemente aus sein $U_1 \cup U_2$, es ist klar, dass $U \subseteq K$.

Die Spanne eines Sets $S$ ist der Schnittpunkt aller Teilräume eines Vektorraums $V$ Dies enthält $S$. Daher$K = \operatorname{span}(U_1 \cup U_2)$. Also Elemente aus$K$ kann als Linearkombination aus geschrieben werden $U_1 \cup U_2$. Schon seit$U$ kann auch als Linearkombination aus dargestellt werden $U_1 \cup U_2$ es folgt dem $K \subseteq U$.

Das fühlte sich etwas zu einfach an, also denke ich, dass ich etwas Wichtiges verpasst habe. Jede Hilfe hier wäre toll.

Answer 1

So einfach ist das wirklich! Angenommen, Sie haben einen Unterraum$W$ von $V$ so dass $U_1\cup U_2\subseteq W$. Dann haben wir für jeden$u_1\in U_1, u_2\in U_2$, $u_1+u_2\in W$ weil $W$ist ein Unterraum. So,$U_1+U_2\subseteq W$. Wie$W$ war willkürlich, wir wissen, dass diese Einbeziehung für alle diese Unterräume gilt und daher für ihre Einbeziehung gilt $U_1+U_2\subseteq \bigcap_{U_1\cup U_2\subseteq W}W$. Andererseits,$U_1+U_2$ ist selbst ein Unterraum von $V$ enthält $U_1\cup U_2$ was die umgekehrte Einbeziehung gibt.