Sylvesters Determinantensatz

Question

Ich brauche Hilfe, um die folgende Formel zu beweisen :

$log\,|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|=(N-n)\cdot log\,\sigma^2+log\,|P(\alpha)|+log\,|\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|$

Die Matrix $\varPhi_N$ hat Dimension $n \times N$ während die Matrix $P(\alpha)$ hat Abmessungen $n \times n$und ist positiv (semi?) - definitiv. Die Variable$\sigma^2$ hat Dimension $1 \times 1$ (nicht negativer Skalar: $\sigma^2\ge0$).

Jede Hilfe zur Bewältigung der oben genannten Vereinfachung ist willkommen. Dankeschön

Was ich bisher versucht habe: $(N-n)\cdot log\,\sigma^2+log\,|P(\alpha)|+log\,|\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=log(|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |P(\alpha)|\cdot |\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|)=log\,|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\implies$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |P(\alpha)|\cdot |\sigma^2\cdot P(\alpha)^{-1}+\varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |\sigma^2 \cdot P(\alpha)\cdot P(\alpha)^{-1}+P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|\sigma^2\cdot I_{N-n}|\cdot |\sigma^2 \cdot I_n+P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|\sigma^2\cdot I_N+\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\sigma^{2\cdot(N-n)} \cdot \sigma^{2\cdot n}\cdot|I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=\sigma^{2\cdot N}\cdot|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$\sigma^{2\cdot N} |I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=\sigma^{2\cdot N}\cdot|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

$|I_n+\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N\cdot\varPhi_N^T|=|I_N+\frac{1}{\sigma^2}\cdot\varPhi_N^T\cdot P(\alpha)\cdot\varPhi_N|$

Lassen $A=\frac{1}{\sigma^2}\cdot P(\alpha)\cdot \varPhi_N$ und $B=\varPhi_N^T$

Wir haben den Determinantensatz von Sylvester:

$|I_n+A \cdot B|=|I_N+B \cdot A|$

Answer 1

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