Symmetrischer Matrixoperator

Question

Lassen $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sei eine symmetrische Matrix mit Eigenwerten $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ und spektrale Zerlegung gegeben durch $$ A = PDP^{\top}, $$ wo $D = \text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ und $P$ ist orthogonal.

Lassen $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}$ eine solche Menge sein, dass $\lambda_i\in\mathcal{S}$ für alle $i$und definieren Sie eine Funktion $f:\mathcal{S}\to\mathbb{R}$.

Wir definieren die Matrix $f(A)$ wie $$ f(A) = Pf(D)P^{\top}, $$ wo $$ f(D) = \text{diag}(f(\lambda_1),...,f(\lambda_n)). $$

Ist $f(A)$ gut definiert?

Ich meine, die spektrale Zerlegung $A = PDP^{\top}$ ist nicht einzigartig, da es sein könnte $i,j$ st $\lambda_i=\lambda_j$, was das provoziert $P$ ist nicht einzigartig.

Jeder Einblick wird geschätzt!

Answer 1

Es ist gut definiert. Der Grund ist, dass$f(D)$ kann als Polynom in ausgedrückt werden $D$ (dessen Grad und Koeffizienten abhängen von $f$ und $D$), was macht $f(A)$ ausdrückbar als Polynom in $A$. In der Tat, wenn$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_m$sind diese unterschiedlichen Eigenwerte von$A$ und $g$ ist das Lagrange-Interpolationspolynom $$ g(x)=\sum_{i=1}^m\prod_{j\ne i}\frac{x-\mu_j}{\mu_i-\mu_j}f(\mu_i), $$ dann $g(\mu_i)=f(\mu_i)$ für jede $i$. (Im Eckfall wo$A=\mu I$, wir definieren $g$ als konstantes Polynom $f(\mu)$.) Daher $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)$ für jede $i$ (weil jeder $\lambda_i$ ist etwas $\mu_k$), $f(D)=g(D)$ und $Pf(D)P^T=Pg(D)P^T=g(PDP^T)=g(A)$. Schon seit$g$hängt nur von der ungeordneten Mehrfachmenge von Eigenwerten von ab$A$ aber nicht an $P$ oder in der Reihenfolge der $\lambda_i$s auf der Diagonale von $D$, das Produkt $Pf(D)P^T$ wertet immer den gleichen Wert aus, nämlich $g(A)$unabhängig von der durchgeführten spektralen Zersetzung.

Answer 2

weil $P^\perp P=I$, $$ A^2 = (PDP^\perp)^2=PDP^{\perp}PDP^{\perp}=PD^2P^\perp \\ A^n = PD^nP,\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ Definieren $P^0=I$. Dann wenn$p$ ist ein Polynom, $$ p(A)=Pp(D)P^\perp. $$ Für die Diagonalmatrix $D$ mit Diagonale $d_1,d_2,\cdots,d_N$, diese Definition von $p(D)$ gibt die Diagonalmatrix mit Diagonale an $p(d_1),p(d_2),\cdots,p(d_N)$. Dies steht im Einklang mit der Standardauswertung eines Polynoms mit der Matrix$A$. Und das können Sie sehen$(pq)(A)=p(A)q(A)$ beispielsweise.