Teilintegration für bestimmte Integrale

Question

Ich möchte das folgende bestimmte Integral bewerten: $$\int_{2}^{4} \frac {\mathrm{d}x} {x \ln x}\ .$$

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Mein Arbeiten

Lassen $u = \frac {1} {\ln x}$ und $v' = \frac {1} {x}$

$\implies u' = -\frac {1} {x (\ln x)^2}$ und $v = \ln x$

$\therefore \int_{2}^{4} \frac {dx} {x \ln x} = 1 + \int_{2}^{4} \frac {dx} {x \ln x}$

$\implies 0 = 1$ (Sag was?)

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Antworten

$\int_{2}^{4} \frac {dx} {x \ln x} = \ln 2$

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Wenn ich die Substitution benutze $u = \ln x$und fahren Sie fort, ich komme zu der Antwort, aber das ist trivial, also bin ich nicht hier, um das zu diskutieren. Was ich hier diskutieren möchte, ist meine Arbeit, wenn ich die Integration nach Teilen verwende. Ich scheine irgendwo falsch gelaufen zu sein, was ich sehr faszinierend finde. Ich nehme an, ich muss nachlässig gewesen sein, aber ich habe den ganzen Tag Kalkül gemacht, also ist mein Verstand vielleicht müde. Schlimmer noch, gibt es ein inhärentes Missverständnis in meinem Konzept der Teilintegration? Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand darauf hinweisen kann, wo ich falsch gelaufen bin :)

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Nach den gegebenen Antworten hatte ich anscheinend ein konzeptionelles Missverständnis bezüglich der Integration durch Teile und es stellt sich heraus, dass die Integration durch Teile nicht zur Lösung dieses bestimmten Integrals verwendet werden kann! Heute habe ich auch herausgefunden, dass die Integration durch Teile nicht alle Integrale lösen kann!

Answer 1

Integration nach Teilestaaten $$\int_2^4 uv' dx = uv\big|_2^4 - \int_2^4 u'v dx$$

Wir haben $uv=1$. Daher$uv\big|_2^4 = 0$.

Die Gleichung wird $$\int_{2}^{4} \frac {dx} {x \ln x} = 0 + \int_{2}^{4} \frac {dx} {x \ln x}$$

und es kann keine Schlussfolgerung gezogen werden.

Answer 2

Wir haben $$\int_{2}^{4}\frac{dx}{x\ln(x)}=\big[1\big]_{x=2}^{x=4}+\int_{2}^{4}\frac{dx}{x\ln(x)}=1-1+\int_{2}^{4}\frac{dx}{x\ln(x)}=\int_{2}^{4}\frac{dx}{x\ln(x)}$$ Mit der Integration nach Teilen kommen wir also nicht weiter.

Answer 3

$$I=\int_2^4\frac{dx}{x\ln x}$$ $$u=\ln(x)\Rightarrow dx=xdu,\,u\in[\ln(2),\ln(4)]$$ $$I=\int_{\ln(2)}^{\ln(4)}\frac{xdu}{xu}=\int_{\ln(2)}^{\ln(4)}\frac{1}{u}du=\left[\ln(u)\right]_{\ln2}^{\ln4}=\ln(\ln4)-\ln(\ln2)=\ln(2\ln2)-\ln(\ln2)$$ $$=\ln(2)+\ln(\ln2)-\ln(\ln2)=\ln(2)$$ Dies ist wirklich der einfachste Weg, es kann keine Schlussfolgerung nur aus IBP gezogen werden