Temperaturänderung eines sich bewegenden Gasbehälters, der plötzlich gestoppt wird
Obwohl diese Frage hier schon oft gestellt wurde, habe ich keine zufriedenstellende detaillierte quantitative Antwort gefunden.
Die Frage ist:
Wenn ein idealer Gasbehälter sich mit einer Geschwindigkeit bewegt$v$plötzlich gestoppt wird, ändert sich die Temperatur des Gases?
Ich habe viele Tage darüber nachgedacht, konnte aber nicht herausfinden, wie ich vorgehen soll. Ich bin dankbar für sogar Hinweise und hätte wirklich gerne eine quantitative Antwort.
Bearbeiten : Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass die Wände des Behälters adiabat sind. Danke.
Antworten
Sehen Sie sich den Behälter vor und nach dem Stoppen an. Wenn es stoppt, wird die kinetische Energie des Massenschwerpunkts der Gasmoleküle in innere Energie des Gases umgewandelt.
Somit ist die dem Gas zugeführte Energie gleich dem Verlust an kinetischer Energie der Moleküle$$\Delta U=\frac{1}{2}mv_{\mathrm{container}}^2.$$Die Temperaturänderung hängt von den Freiheitsgraden des Gases gemäß der Gleichung ab$$\Delta U=\frac{f}{2}nR\Delta T.$$
Ich lese die Gespräche, die mit allen Antworten auf dieser Seite verbunden sind. Sie sind wirklich interessant und regen zum Nachdenken an. Ich werde meine Antworten bald in meine Antwort einfließen lassen.
Wenn ein idealer Gasbehälter, der sich mit einer Geschwindigkeit bewegt, plötzlich gestoppt wird, ändert sich dann die Temperatur des Gases?
Wie ich in meiner vorherigen Antwort sagte, ist es umstritten. Aber ich glaube, es ist wichtig zu verstehen, was mit "Temperatur" gemeint ist, wenn man die ideale Gasgleichung anwendet. Die folgenden Gleichungen wurden von anderen in ihren Antworten verwendet:
$$\Delta U=\frac{f}{2}nR\Delta T.$$
$$ \Delta pV= nR\Delta T $$
Diese Gleichungen basieren auf oder sind von der idealen Gasgleichung abgeleitet. Es ist wichtig zu erkennen, dass die Temperaturänderung in der idealen Gasgleichung für ein ideales Gas gilt, das sich im Anfangs- und Endzustand innerlich im Gleichgewicht befindet. Mit anderen Worten:
$$\Delta T=T_{final}-T_{initial}$$
Woher$T_{final}$und$T_{initial}$ sind die Massentemperaturen des Gases im Anfangs- und Endgleichgewichtszustand.
Wir können davon ausgehen, dass sich das Gas im Behälter im Gleichgewicht befand, als es sich vor der Verzögerung mit konstanter Geschwindigkeit bewegte. Aber das Gas war während der Verzögerung nicht im Gleichgewicht, da sowohl Temperatur- als auch Druckgradienten existieren. Ich glaube, um die ideale Gasgleichung richtig zu verwenden,$T_{final}$muss die Temperatur des Gases nach dem Stoppen und nach Wiederherstellung des inneren Gleichgewichts sein, dh wenn keine Temperatur- und Druckgradienten mehr vorhanden sind.
Wie ich in meiner vorherigen Antwort gesagt habe, gibt es keine Grenzarbeiten, wenn der Gasbehälter sowohl starr als auch perfekt wärmeisoliert (adiabatisch) ist$W$und keine Wärmeübertragung,$Q$, mit der Umgebung. Dann gilt nach dem ersten Gesetz$\Delta U=Q-W$und deshalb$\Delta U=0$. Und da für ein ideales Gas$\Delta U=C_{v}\Delta T$, das würde bedeuten$\Delta T=0$. In diesem Fall ist die Endtemperatur die Gleichgewichtstemperatur, nicht die lokalisierte Temperatur des komprimierten Teils des Gases während der Verzögerung.
Ich glaube, @Agnius Vasiliauskas hat es am besten ausgedrückt, indem er jeden Temperaturanstieg als „vorübergehend“ bezeichnet hat. Ich würde "lokalisiert" hinzufügen, da die Temperatur nicht die Massentemperatur ist (Temperatur im gesamten Gas). Im Chatroom mit Agnius einigten wir uns darauf, dass nach Wiederherstellung des Gleichgewichts die Gleichgewichtstemperatur des Gases dieselbe sein sollte wie vor der Verzögerung, z$\Delta T=0$. Das stimmt mit dem ersten Hauptsatz für ein isoliertes System eines idealen Gases überein.
Hoffe das hilft.
Eine Schlüsselbedingung ist „plötzlich“. Im Rahmen des sich anfänglich bewegenden Kastens bewegt sich die Vorderwand sofort mit der Anfangsgeschwindigkeit des Kastens nach innen und erzeugt eine Kompressionsstoßwelle. Die nachlaufende Wand bewegt sich sofort und entsprechend nach außen; Aufgrund thermodynamischer Einschränkungen im Zusammenhang mit dem zweiten Hauptsatz kann es jedoch neben anderen Materialien in einem idealen Gas keinen Verdünnungsschock geben.
(Die Unmöglichkeit eines Verdünnungsschocks in perfekten Fluiden wird beispielsweise in Zel'dovich und Raizer, Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena , §17 "Unmöglichkeit von Verdünnungsschockwellen in einer Flüssigkeit mit normalen thermodynamischen Eigenschaften" diskutiert. Effektiv würde sich jede Verdünnungsdiskontinuität mit Unterschallgeschwindigkeit ausbreiten und sofort vom Normaldruck dahinter überholt werden. Im Gegensatz dazu bewegen sich Kompressionsdiskontinuitäten mit Überschallgeschwindigkeit und überholen die Normaldruck-„Information" hinter ihnen. Der sogenannte Satz von Zemplen zeigt, wie selten Schocks in perfekten Flüssigkeiten verringern die globale Entropie und sind daher nach dem zweiten Hauptsatz verboten.)
Ein Einwand auf dieser Seite gegen diese Interpretation ist, dass die Kompression und Verdünnung symmetrisch sind und dass jede von der Vorderkante am Gas geleistete Arbeit genau durch die vom Gas an der Hinterkante geleistete Arbeit aufgehoben wird. Dies ist ein gutes Modell für eine allmähliche Verzögerung, aber ungeeignet für einen abrupten Stopp, da die Kompressions-Schock-Lösung physikalisch ist und die Verdünnungs-Schock-Lösung nicht.
(Die Idee, dass die Geschwindigkeit einer sich zurückziehenden Wand das Wesen auch eines "einfachen" idealen Gasproblems grundlegend beeinflusst, ist uns natürlich aus dem Vergleich von Expansionsarbeit und freier Expansion bekannt . Wenn ein ideales Gas langsam expandiert, ändert sich seine Temperatur nimmt ab, da die Moleküle der sich zurückziehenden Wand einen Impuls-"Kick" verleihen. Wenn die Wand augenblicklich nach außen verschoben wird, tritt keine solche Arbeit auf und die Gastemperatur bleibt unverändert.)
Die dissipative Erwärmung (das viskose Schwappen in der Antwort von @mikestone ) durch diese Kompressionswelle verursacht an einem solchen Punkt, an dem davon ausgegangen werden kann, dass das Gas in einen Gleichgewichtszustand zurückgekehrt ist, einen Temperaturanstieg, wie in der Antwort von @Protein berechnet .
Ein weiterer Einwand auf dieser Seite ist, dass das Erste Gesetz (formuliert als$\Delta U=Q+W$) sagt keinen Temperaturanstieg voraus, da keine Arbeit geleistet und kein Heizen durchgeführt wird. Diese Formulierung kann jedoch nicht allgemein in Fällen angewendet werden, in denen sich die linearen und Drehimpulse des Systems ändern. Callen, in Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics , Anmerkungen
Es gibt sieben "erste Integrale der Bewegung" (wie die Erhaltungsgrößen in der Mechanik genannt werden). Diese sieben Erhaltungsgrößen sind die Energie, die drei Komponenten des linearen Impulses und die drei Komponenten des Drehimpulses; und sie folgen parallel aus der Translation in "Raumzeit" und aus der Rotation.
Warum scheint Energie dann eine einzigartige Rolle in der Thermostatistik zu spielen? Sollten Impuls und Drehimpuls nicht parallel zur Energie eine Rolle spielen? Tatsächlich ist die Energie in der Thermostatistik nicht eindeutig. Der lineare Impuls und der Drehimpuls spielen genau parallele Rollen. Die Asymmetrie in unserer Darstellung der Thermostatistik ist rein konventionell und verschleiert die wahre Natur des Themas.
Wir sind der Standardkonvention gefolgt, die Aufmerksamkeit auf Systeme zu beschränken, die makroskopisch stationär sind, in welchem Fall Impuls und Drehimpuls willkürlich Null sein müssen und nicht in der Analyse erscheinen. [empf. hinzugefügt] Aber Astrophysiker, die Thermostatistik auf rotierende Galaxien anwenden, sind mit einer vollständigeren Form der Thermostatik vertraut. In dieser Formulierung spielen Energie, linearer Impuls und Drehimpuls völlig analoge Rollen.
Der in der Antwort von @Protein angewendete Energieerhaltungsansatz unterliegt dieser Einschränkung nicht und erscheint daher glaubwürdiger als das erste Gesetz, wie es für statische Systeme formuliert wurde.
Clarke und Carswell unterstützen diesen Punkt in "Principles of Astrophysical Fluid Dynamics":
Wir beginnen mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, der ein Ausdruck der Energieerhaltung ist: đQ = dE +p dV (4.3). Hier ist đQ die Wärmemenge, die von der Einheitsmasse des Fluids aus seiner Umgebung aufgenommen wird, p dV ist die Arbeit, die von der Einheitsmasse des Fluids verrichtet wird, wenn sich sein Volumen um dV ändert, und dE ist die Änderung des inneren Energieinhalts der Einheitsmasse des Fluids . Wir bemerken, dass dieses Gesetz nur gültig ist, wenn man Prozesse vernachlässigen kann (als viskose oder dissipative Prozesse bezeichnet), die die kinetische Energie des Fluids in Wärme umwandeln können. Im allgemeineren Fall, wo die Viskosität nicht vernachlässigt werden kann, gilt đQ < dE + p dV, da der Flüssigkeit durch Dissipation ihrer kinetischen Energie zusätzliche Wärme zugeführt werden kann. [empf. hinzugefügt]
In The Physics of Astrophysics leitet Shu den folgenden allgemeineren volumetrischen First-Law-Ausdruck ab:
$$\rho\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}=\dot{\mathscr{Q}}-P\boldsymbol{\nabla\cdot u}+\pi_{ik}\frac{\partial u_i}{\partial x_k},$$
wo$\rho$ist die Dichte,$\mathscr{E}$ist die spezifische Energie,$\dot{\mathscr{Q}}$ist die Rate der spezifischen Erwärmung,$\boldsymbol{u}$ist die Massengeschwindigkeit und$\pi_{ik}$ist der viskose Spannungstensor. Der letzte Term in der Gleichung repräsentiert „die viskose Umwandlung von geordneter Energie in unterschiedlichen Flüssigkeitsbewegungen in ungeordnete Energie in zufälligen Teilchenbewegungen“ – zweifellos zentral für die vorliegende Frage!
Beim Abbremsen wird das Gas komprimiert, und daher steigt die Temperatur aufgrund der Kompression vorübergehend an. Ideales Gesetz besagt:
$$ \Delta pV= nR\Delta T $$
Druckänderung ist:$$ \Delta p=\frac FA = \frac{ma}{A} $$
Woher$a$ist Behälterverzögerung und$A$ist die Querschnittsfläche des Behälters, in die Gasmoleküle aufgrund der Verzögerung drängen. Ersetzen Sie es im idealen Gasgesetz, indem Sie die Stoffmenge als ausdrücken$n=m/M$, und Lösen der resultierenden Formel für die Temperaturänderung$\Delta T$gibt:
$$ \Delta T = \frac{MVa}{AR} $$
Woher$M$Molmasse von Gas,$V$Gasvolumen,$a$- Behälterverzögerung.
Ich denke, es ist umstritten, insbesondere wenn der Behälter sowohl starr als auch adiabat (wärmeisoliert) ist, sodass keine Wärmeübertragung stattfindet und keine Grenzarbeiten durchgeführt werden.
Ich erinnere mich, dass in einem verwandten Beitrag darauf hingewiesen wurde, dass während der Verzögerung die Temperatur des Teils des Gases, der gegen die vordere Wand des Behälters drückt und komprimiert, ansteigt, aber gleichzeitig die Temperatur des Teils des Gases, der sich bewegt weg von der nachlaufenden Wand und dehnt Tropfen aus, so dass die beiden dazu neigen, sich gegenseitig aufzuheben.
Wenn man darüber nachdenkt, macht es Sinn. Wenn der Behälter starr und isoliert ist, muss jede Kompression eines Teils des Gases von einer Expansion eines anderen Teils des Gases begleitet werden, um die Masse zu erhalten.
Schließlich, wenn der Behälter sowohl starr als auch isoliert ist$W=0$und$Q=0$, dann aus dem ersten Gesetz$\Delta U=0$. Das bedeutet für ein ideales Gas$\Delta T=0$.
Hoffe das hilft.
Das Gas beginnt hin und her zu schwappen, genau wie jede Flüssigkeit. Die kinetische Energie des Massenschwerpunkts wird somit in akustische Energie, dh Schallwellen, umgewandelt. Viskose Reibung wird diese Wellen schließlich dämpfen und die Energie in innere Energie umwandeln.