Topologisch äquivalent

Question

Ist es möglich, topologisch äquivalente Metriken mit unterschiedlichen Cauchy-Sequenzen zu haben? Gibt es konkrete Beispiele? Oder produzieren sie normalerweise die gleichen Cauchy-Sequenzen?

Answer 1

Auf $\Bbb R$, die Metrik $d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ definiert die gleiche Topologie auf $\Bbb R$als Standardmetrik. Unter$d$, die Reihenfolge gegeben durch $x_n=n$ ist Cauchy, aber natürlich nicht unter der Standardmetrik.