Topologisches Interieur eines Standards $n$-Simplex
Ein topologischer Standard$n$-simplex ist eine Teilmenge$\Delta^n = \{ (x_0,x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_i \geq 0, \sum_{i = 0}^n x_i = 1 \}$ von $\mathbb{R}^{n+1}$mit der Subraumtopologie ausgestattet. Simplices haben ihre eigene Definition von Grenzen und Innenräumen, aber über das topologische Innere und die topologische Grenze von wird wenig gesagt$\Delta^n \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ (Die Schließung ist natürlich $\Delta^n$ selbst, da es geschlossen ist $\mathbb{R}^{n+1}$).
Akzeptierte Antworten auf diese Frage (und viele ähnliche Beweise) setzen implizit voraus, dass sie nicht leer ist, da ein Satz, den sie aufrufen, eine konvexe Teilmenge von erfordert$\mathbb{R}^{n+1}$ ein nicht leeres Interieur haben.
Diese Frage und die Antwort darauf legen nahe, dass das Innere von$\Delta^n$ die Teilmenge von denen zu sein $(x_0,...,x_n)$ für welche $x_i > 0$obwohl ich nicht sicher bin, ob es sich um ein topologisches oder ein einfaches Interieur handelt.
Ich habe auch gehört, dass es leer ist, aber dann würde es alle Beweise liefern, die ich sehe, dass $\Delta^n$ ist homöomorph zu $D^n$ ungültig, was ich unwahrscheinlich finde, da es sich um einen Volkssatz zu handeln scheint, der sich auf den folgenden Satz stützt:
Lassen $K \subseteq \mathbb{R}^n$eine kompakte konvexe Teilmenge mit nicht leerem Innenraum sein. Dann für jeden inneren Punkt$p$ von $K$gibt es einen relativen Homöomorphismus $(D^n,S^{n-1}) \to (K,\partial K)$ welche Karten $0$ zu $p$.
Vor ungefähr einem Jahr habe ich erfolglos versucht, das Problem zu verstehen: Googeln liefert wenig bis gar keine Informationen zu diesem Thema. Dieses Mal hoffe ich, dem auf den Grund zu gehen und diese Antwort als Referenz für alle in meiner Situation zu geben.
Antworten
Beginnen wir mit der folgenden Notation: By $e_i^m$, $i = 0,\ldots,m-1$bezeichnen wir die Standardbasisvektoren von $\mathbb R^m$.
Das topologische Innere von$\Delta^n$ im $\mathbb R^{n+1}$ist leer. Um das zu sehen, nimm eine$x \in \Delta^n$ und alle $r > 0$. Lassen$y = x + \frac{r}{2}e_0$. Dann$y \notin \Delta^n$ und $\lVert y - x \rVert = \frac{r}{2}$. Dies zeigt, dass$B_r(x) = \{ y \in \mathbb R^{n+1} \mid \lVert y - x \rVert < r \} \not\subset \Delta^n$.
Das $i$-th Gesicht von $\Delta^n$ ist definiert als $$\partial_i \Delta^n = \{ x \in \Delta^n \mid x_i = 0 \} .$$ Lassen $p_i : \mathbb R^{n+1} \to \mathbb R^n$ bezeichnen die Projektion ohne $i$-die Koordinate von $x = (x_0,\ldots,x_n)$das ist eindeutig kontinuierlich. Das ist leicht zu sehen$p_i$ Karten $\partial_i \Delta^n$ bijektiv auf $\Delta^{n-1}$stellt somit einen Homöomorphismus her $\bar p_i : \partial_i \Delta^n \to \Delta^{n-1}$.
Die einfache Grenze von$\Delta^n$ ist $$\partial \Delta^n = \bigcup_{i=0}^n \partial_i \Delta^n = \{ x \in \Delta^n \mid x_i = 0 \text{ for some } i \} .$$
Sie sollten Bilder für zeichnen $n =1, 2$um zu sehen, was hier los ist. Das einfache Innere von$\Delta^n$ ist $$\mathring{\Delta}^n = \Delta^n \setminus \partial \Delta^n = \{ x \in \mathbb R^{n+1} \mid \text{ All } x_i > 0 , \sum_{i=0}^n x_i = 1 \} .$$
Sie haben Recht, die Beweise in Ihren Links funktionieren nicht wirklich.
Das ist jedoch leicht zu erkennen $\mathring{\Delta}^n$ ist das topologische Innere von $\Delta^n$ in der Hyperebene $H \subset \mathbb R^{n+1}$ beschrieben durch die Gleichung $\sum_{i=0}^n x_i = 1$, und somit $\partial \Delta^n$ ist die topologische Grenze von $\Delta^n$ im $H$. Um dies zu sehen, beobachten Sie das$O = \{ x \in \mathbb R^{n+1} \mid \text{ All } x_i > 0 \} = (0,\infty)^{n+1}$ ist offen in $\mathbb R^{n+1}$ und deshalb $\mathring{\Delta}^n = O \cap H$ ist offen in $H$. Darüber hinaus nein$x \in \partial \Delta^n$ ist ein innerer Punkt von $\Delta^n$ im $H$. Eigentlich,$x \in \partial \Delta^n$ bedeutet, dass einige $x_j = 0$. Wählen Sie eine aus$k \in \{0,\ldots,n\} \setminus \{j\}$. Für jeden$r > 0$ Der Punkt $y = x - \frac{r}{2}e_i^{n+1} + \frac{r}{2}e_k^{n+1}$ ist enthalten in $H$. Wir haben$y_i < 0$also $y \notin \Delta^n$. Ebenfalls$\lVert y - x \rVert = \sqrt{2(\frac{r}{2})^2} = \frac{r}{\sqrt 2} < r$ damit $B_r(x) \cap H \not\subset \Delta^n$.
Die Karte $h : H \to \mathbb R^n, h(x_0,\ldots,x_n) = (x_0,\ldots,x_{n-1})$ist ein Homöomorphismus (sein umgekehrtes Wesen $(x_0,\ldots,x_{n-1}) \mapsto (x_0,\ldots,x_{n-1},1 - \sum_{i=0}^{n-1} x_i)$). Betrachtet man den kompakten konvexen Satz$h(\Delta^n) \subset \mathbb R^n$ das hat nicht leeren Innenraum in $\mathbb R^n$ reduziert alles auf das, was in Ihren Links bewiesen wurde.
Sie können auch wie folgt vorgehen. $\Delta^n$ ist die konvexe Hülle des $n+1$ Standardbasisvektoren $e_i^{n+1}$ von $\mathbb R^{n+1}$. So$h(\Delta^n)$ ist die konvexe Hülle des $n+1$ Vektoren $v_i = h(e_i^{n+1})$. Aber$v_i = e_i^n$ zum $i < n$ und $v_n = 0$. Ein Bild zu zeichnen ist hilfreich. Schauen Sie sich jetzt meine Antwort auf Homöomorphismus zwischen an$k$-simplex und ein Produkt von $k$Einheitsintervalle . Dort habe ich bezeichnet$h(\Delta^n)$ durch $\Delta^n$Seien Sie also bitte nicht verwirrt. Jedenfalls habe ich einen Homöomorphismus konstruiert$h(\Delta^n) \to I^n$. Es sollte bekannt sein, dass$I^n$ ist homöomorph zu $D^n$.
Ich werde versuchen, Ihre erste Frage zum topologischen Inneren der Norm zu beantworten $n$-Simplex. Insbesondere werde ich zeigen, dass jeder Punkt in \ begin {Gleichung} x \ in \ mathrm {Int} (\ Delta ^ {n}) = \ left \ {(x_ {0}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: \ sum_ {j = 0} ^ {n} x_ {j} = 1, x_ {j}> 0 \ right \} \ end {Gleichung} ist in enthalten ein offener Ball$B(x,\delta)$ für einige $\delta>0$, und $B(x,\delta)\subseteq\mathrm{Int}(\Delta^n)$. Ich arbeite tatsächlich mit der obigen Definition (wie in der obigen Gleichung) des Inneren eines Simplex.
Lassen $a=(a_{0},\dots,a_{n})\in\mathrm{Int}(\Delta^n)$. Lassen Sie \ begin {Gleichung *} 2 \ delta = \ inf \ left \ {\ Vert \ alpha-a \ Vert_ {2}: \ alpha \ in \ mathrm {Int} (\ Delta ^ n), \ alpha \ text { hat genau eine Koordinate} 0, \ text {und der Rest positiv} \ right \} \ end {Gleichung *} wobei$\Vert\cdot\Vert_{2}$ist die übliche euklidische Norm. Das müssen wir zeigen$B(x,\delta)\subseteq\mathrm{Int}(\Delta^n)$. Lassen$y\in B(x,\delta)\cap\Delta^{n}$. Dann sehen wir das aus der Definition von$\delta$, Wir müssen haben $y\in\mathrm{Int}(\Delta^n)$. Dies zeigt, dass die offene Menge$B(x,\delta)\cap\Delta^n$ ist vollständig enthalten in $\mathrm{Int}(\Delta^n)$, wo $B(x,\delta)\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$ ist die offene Kugel zentriert bei $x$ des Radius $\delta$.
Um Ihre zweite Frage an der topologischen Grenze zu beantworten, folgt \ begin {Gleichung *} \ partiell \ Delta ^ {n} = \ Delta ^ {n} \ setminus \ mathrm {Int} (\ Delta ^ n) = \ left \ {(x_ {0}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: \ sum_ {j = 0} ^ {n} x_ {j} = 1, x_ { j} = 0 \ text {für einige} j \ right \} \ end {Gleichung *}
Anmerkung: Beachten Sie, dass ich mit der Topologie arbeite $\mathbb{R}^{n+1}$ induziert durch die übliche euklidische Metrik und damit mit der Subraumtopologie auf der $n$-Simplex $\Delta^n$ induziert durch die (euklidische) metrische Topologie auf $\mathbb{R}^{n+1}$.
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