Toroidale Heegaard-Teilungen

Question

Angenommen, ich habe eine Heegaard-Aufteilung eines geschlossenen, nicht reduzierbaren 3-Verteilers $M$, definiert durch das Heegaard-Diagramm $(\Sigma_{g},\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{g}\},\{\beta_{1},\dots,\beta_{g}\})$. Gibt es offensichtliche ausreichende oder notwendige Bedingungen für die Anbringungskurven für wann?$M$ ist toroidal (oder atoroidal)?

Jede Art von Führung wäre hilfreich.

Answer 1

In Hempels " 3-Mannigfaltigkeiten vom Kurvenkomplex aus gesehen " ist einer der Hauptsätze ein notwendiges Kriterium, um toroidal zu sein. Insbesondere zeigt er, dass, wenn ein 3-Verteiler toroidal ist, alle seine Heegaard-Teilungen,$\Sigma$, haben $d(\Sigma) \leq 2$, wo $d$ist die Hempel-Entfernung. Wenn Sie also der Konstruktion in demselben Papier für Heegaard-Spaltungen über große Entfernungen folgen, erhalten Sie eine große Sammlung von atoroidalen Verteilern, mit denen Sie arbeiten können.

Wenn Sie in die andere Richtung gehen, finden Sie hier eine Möglichkeit, Tori in einer 3-Mannigfaltigkeit zu erhalten, die durch eine Heegaard-Aufteilung gegeben ist (es ist mir weniger klar, ob diese Tori wesentlich sind). Nehme an, dass$c_1$ und $c_2$ sind Kurven auf $\Sigma$ die einen Ring in den von Ihnen bestimmten Handkörper gebunden haben $\alpha$ Kurven sowie ein Ring in der Handlebody von Ihrem bestimmt $\beta$Kurven. Das Zusammenkleben dieser Ringe ergibt einen Torus in Ihrem 3-Verteiler, der die Heegaard-Oberfläche in schneidet$c_1$ und $c_2$.

In der Praxis ein Weg, um solche zu konstruieren $c_i$ ist zu beginnen $c_1$ und "schieben" Sie es über Ihre $\alpha$Kurven, so dass dieses Gleiten den gewünschten Ring herausfegt. Man kann diese Konstruktion auch auf Sammlungen verallgemeinern$c_1 ... c_n$ wo $c_1$ und $c_2$ gebunden einen Ring in der $\alpha $ Handlebody, $c_2$ und $c_3$ gebunden einen Ring in der $\beta$ Handlebody etc.

Answer 2

Ich habe das Papier "Die disjunkte Kurveneigenschaft und die Gattung 2-Mannigfaltigkeiten" von Abigail Thompson gefunden, in dem sie beweist, dass sich ein Heegaard für eine 3-Mannigfaltigkeit aufteilt $M$ hat dann NICHT die Eigenschaft der disjunkten Kurve $M$ ist atoroidal.

Lassen $M_{1}\cup_{\Sigma}M_{2}$ sei ein Heegaard, der sich spaltet $M$. Dann hat die Heegaard-Aufteilung die Eigenschaft der disjunkten Kurve, wenn wesentliche einfache geschlossene Kurven existieren$c, a$ und $b$ auf $\Sigma$ wo $c$ ist disjunkt von $a$ und $b$ auf $\Sigma$, und $a$ begrenzt eine Festplatte in $M_{1}$, und $b$ begrenzt eine Festplatte in $M_{2}$.