Transversale einer Äquivalenzbeziehung

Question

Definieren Sie eine Beziehung auf $\mathbb{R}^2$ durch $(a, b)\sim(c, d)$ dann und nur dann, wenn $(c-a, d- b) \in \mathbb{Z}^{2}$. Beweise das$\sim$ist eine Äquivalenzbeziehung. Identifizieren$\mathbb{R}^2$ Beschreiben Sie mit dem Flugzeug auf die übliche Weise die natürlichste Transversale für $\sim$, die Sie finden können. Was hat diese Frage, wenn überhaupt, mit Donuts zu tun?

Ich habe die Äquivalenzbeziehung bereits bewiesen und kenne die Lösung des zweiten Teils, seit sie bereitgestellt wird, aber ich habe Probleme, sie zu verstehen. Ich nehme an, es fragt nach den Äquivalenzklassen?

Lösung:

Eine natürliche Überschneidung ist $I \times I$ wo $I = \{r | r \in \mathbb{R}, 0 \leq r < 1\}$. Verbinden Sie die Ober- und Unterseite von$I$um ein Rohr zu bilden, und biegen Sie das Rohr herum, um die beiden Kreise ebenfalls zu verbinden. Sie haben die Oberfläche eines Donuts (ein Torus in mathematischer Sprache).

Answer 1

Ich erwarte, dass eine Transversale für eine Äquivalenzbeziehung eine Menge ist, die jede Äquivalenzklasse in genau einem Punkt schneidet. Der Satz$I\times I$ ist eine Transversale für die Beziehung $\sim$.

Wenn wir zu einem halboffenen Quadrat hinzufügen $I\times I$ Auf der oberen und rechten Seite erhalten wir ein geschlossenes Einheitsquadrat $Q$. Aber jeder Punkt$(x,1)$ auf der Oberseite von $Q$ entspricht einem Punkt $(x,0)$ an der Unterseite von $Q$. Erstellen Sie also ein Modell des Quotientenraums$\Bbb R^2/\sim$Punkte jedes Paares $\{(x,1), (x,0)\}$sollte zusammengeklebt werden. Wenn wir dies tun, erhalten wir eine Röhre. Paare entgegengesetzter Punkte an den Kreisen, die die Röhre begrenzen, entsprechen Paaren$\{(0,x), (1,x)\}$ der gegenüberliegenden Punkte der linken und rechten Seite des Quadrats $Q$, die gleichwertig sind und daher auch zusammengeklebt werden sollten. Diese zweistufige Konstruktion liefert uns einen Torus , wie in der vorgeschlagenen Lösung angegeben.

Siehe auch Wikipedia :

Der Torus kann auch als Quotient der kartesischen Ebene unter den Identifikationen beschrieben werden $$(x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),$$ oder äquivalent als Quotient des Einheitsquadrats durch Zusammenfügen der gegenüberliegenden Kanten.