Tut $\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$ konvergieren?
Betrachten Sie die folgende Summe (wo $\Im(z)$ bezeichnet den Imaginärteil von $z$)
$$\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$$
Dh;
$$\Im(\lim_{n\to\infty}a_n)$$ $$a_1=e^i,\ \ \ a_{n+1}=a_n+e^{a_n}\ \ \ \forall n\geq1$$
Ich habe einen generischen Python-Code ( Try It Online ) geschrieben und war überrascht, dass er offensichtlich konvergiert$\approx9.424$
Ich beschäftige mich speziell mit dem Imaginärteil, weil der Realteil logarithmisch auseinander zu gehen scheint.
Konvergiert das? Wenn ja, gibt es andere Ausdrücke für die Konstante?
Vielleicht könnte der Dirichlet-Test nützlich sein, obwohl ich nicht weiß, wie ich vorgehen soll.
Antworten
Nach einigen Iterationen haben wir erreicht $$a_n = -b_n + i(3\pi + \varepsilon_n)$$ mit $b_n > 0$ und $\lvert \varepsilon_n\rvert < \frac{\pi}{2}$. Dann$$e^{a_n} = -e^{-b_n}\cdot e^{i\varepsilon_n} = -\frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} - i\frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ und $$a_{n+1} = a_n + e^{a_n} = -\biggl(b_n + \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr) + i\biggl(3\pi + \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr)\,.$$ So $b_{n+1} > b_n$ und $$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ hat das gleiche Vorzeichen und eine kleinere Größe als $\varepsilon_n$. (Hier haben wir$\varepsilon_n > 0$, aber für andere Startwerte könnte man Imaginärteile erreichen, die etwas kleiner als ein ungerades Vielfaches von sind $\pi$.)
Es folgt dem $\varepsilon_n$ konvergiert, und es bleibt abzuwarten, dass die Grenze ist $0$. Angenommen, die Grenze wäre$\delta \neq 0$. Dann für alle$n$ wir haben $$\lvert \varepsilon_n - \varepsilon_{n+1}\rvert = \frac{\sin \lvert\varepsilon_n\rvert}{e^{b_n}} \geqslant \frac{\sin \lvert\delta\rvert}{e^{b_n}}$$ und daraus folgt $$\sum_{n = N}^{\infty} e^{-b_n} < +\infty\,. \tag{$\ ast$}$$ Schon seit $$\lvert b_n - b_{n+1}\rvert = \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} \leqslant e^{-b_n}$$ Daraus folgt weiter $b_n$ konvergiert insbesondere $b_n < B$ für alle $n$ und einige $B$, aber das widerspricht $(\ast)$. Deshalb$$\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$$ folgt.
Kein vollständiger Beweis, aber ein starker Hinweis darauf
$$\lim_{n\to\infty}\Im(a_n)=3\pi$$
Wenn das Limit konvergiert, dann
$$\lim_{n\to\infty}(\Im(a_n)-\Im(a_{n+1}))=0$$ Somit sollte die Lösung zufriedenstellen
$$\Im(z)=\Im(z+e^{iz})$$ $$\implies\Im(z)=\Im(z)+\Im(e^{iz})$$ $$\implies\Im(e^{iz})=0$$ $$\implies\sin(z)=0$$ $$\implies z=\pi n\ \ \ \forall n\in\mathbb{Z}$$
Berücksichtigung des Ansatzes der numerischen Schätzungen $3\pi$(wie von Stinking Bishop , JG und Gottfried Helms hervorgehoben ), konvergiert entweder die Serie zu$3\pi$oder schwingt irgendwie sehr langsam zwischen attraktiven Fixpunkten der Form $\pi n$. Wenn dies wahr ist, dann ist es merkwürdig, dass trotz der Initialisierung von$a_1=e^i$, was viel näher ist $\pi n$ zum $n\in\{-1,0,1,2\}$zieht es vor, zunächst in Richtung zu konvergieren $3\pi$.
Wir haben im Grunde genommen
$S_{n+1}=S_n+\exp(S_n)$
Machen $S_n=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)$. Dann
$S_{n+1}=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n))$
$=(\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n))+i((k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)))$
Worauf
$\alpha_{n+1}=\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n)$
$\epsilon_{n+1}=\epsilon_n+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)$
Was als nächstes passiert, hängt von der Parität von ab $k$. Wenn$k$ ist gerade, dann in der Grenze von klein $|\epsilon_n|$ wir rendern $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to 1$ und $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to \epsilon_n$, also:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n+\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1+\exp(\alpha_n))$
Dies stellt eine Instabilität dar, weil die $\epsilon_n$ Der Term wird mit einem Faktor multipliziert, der größer als ist $1$und schlimmer noch, dieser Faktor wächst, weil $\alpha_n$nimmt zu. Wir laufen in mehrfacher Hinsicht vor dieser Möglichkeit davon.
Wenn $k$ ist dann seltsam $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to -1$ und $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to -\epsilon_n$, dann:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n-\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1-\exp(\alpha_n))$
Jetzt die $\epsilon$ Parameter wird mit einer positiven Zahl kleiner als multipliziert $1$, was einen stabilen Zustand ermöglicht. Auch der$\alpha$Parameter nimmt logarithmisch ab; Lösung der Differenzgleichung für$\alpha_n$ gibt $\alpha_n\sim -\ln n$. Somit sind die stabilen Fixpunkte spezifisch ungerade Vielfache von$\pi$. Wir würden eine Konvergenz eher zu einem ungeraden als zu einem geraden Vielfachen von erwarten$\pi$.
Dieses Ergebnis weist einen kleinen Fehler auf. weil$\alpha$ nimmt ab, der Multiplikator an $\epsilon$ auf etwas oder jemanden zukommen $1$, so die Konvergenz von $\epsilon$auf Null verlangsamt sich. Dies könnte erklären, warum die numerischen Ergebnisse nur langsam gegen den stabilen Fixpunkt bei konvergieren$3\pi$.
Update: Wahrscheinlich ist die "einfache inverse Beziehung" (nach Gleichung 2) chaotisch. Ich weiß nicht, ob ich das reparieren kann
Bemerkung: Dies ist keine Antwort, sondern ein Training, das mehr Licht auf das gesamte Problem werfen könnte
Wie Oscar Lanzi in seinem Kommentar bemerkte ("Versuchen Sie, den Anfangsbegriff festzulegen ..."), habe ich mir das Verhalten der Iteration an verschiedenen Ausgangspunkten angesehen.
Dies führt zu der Frage nach der Reverse - Funktion und versuchen, ob wir gehen nach hinten aus$z_0=\exp(î)$ und sehen, welchen Wert $z_{-1}$ würde iterieren zu $z_0$ und so weiter.
Ich habe die folgende Umkehrfunktion gefunden, die bei jedem Schritt ein Parameterpaar benötigt.
Lassen $$ f(z) = z + \exp(z) \tag 1$$ dann könnte die Umkehrfunktion geschrieben werden als $$ g(z,b,k) = \log( \text{LambertW}_b(\exp(z)) + k \cdot 2 \pi î \\ k,b \in \mathbb Z \tag 2$$ [Anmerkung: Die LambertW () branchindex$b$ Laut einer Benutzerimplementierung in Pari / GP kann es von anderem Vorzeichen sein oder sich in M'ma oder Maple et al. stark unterscheiden.]
Dann, wenn wir haben $ z_1 = g(z_2, b,k)$ mit einigen gegeben $b,k$dann haben wir die einfache umgekehrte Beziehung $ z_2 = f( z_1)$ .
Update: Dies scheint nur für Teilmengen von zu gelten $(b,k)$ und $b$ und $k$ haben eine lineare Beziehung und das hängt auch davon ab $z_2$. Es ist als allgemeine Behauptung falsch. Das aktuelle Datenbeispiel (siehe unten) und das Bild sind jedoch korrekt.
Leider ist das Gegenteil nicht so einfach. Wenn wir haben$ z_2 = f(z_1)$ mit einer gegebenen $z_1$ dann die entsprechenden Werte für $b$ und $k$ im $z_1=g(z_2,b=?,k=?)$ muss empirisch ermittelt werden .
Es scheint, in der Iteration bis unendlich die$b$-Parameter für LambertW () regelt den Realteil der Konvergenz und der$k$Der Verzweigungsparameter für log () regelt den Imaginärteil der Konvergenz
Zum Beispiel, um einen möglichen Vorgänger für zu finden$z_0=\exp(î)$ wir können den einfachsten Parameter für wählen $g()$ nämlich $b=0$ und $k=0$ und bekomme $$ z_{-1} = g(\exp(î),0,0) = -0.194208607165 + 0.469149782638 î \tag {3.1}$$ Prüfen Sie: $$ f(z_{-1}) = z_0 = 0.540302305868 + 0.841470984808 î = \exp(î) \tag {3.2} $$
Hier scheinen wir das zu haben $\Re (f(g(z_0,b,k)))=\Re( z_0)$ unabhängig von den Werten von $(b,k)$ und nur der Imaginärteil ändert sich in Schritten von $2 \pi$.
Aber umgekehrt auswerten,$ g(f(z_0),b,k) = z_0$ ist nur mit eindeutigen Werten in korrekt $b$ und in $k$.
Ich vermute, dass für die Iterationen des Index sagen wir $i=20$Wenn die imaginäre Komponente im Konvergenzbereich ankommt und auch die Entwicklung der realen Komponente glatt wird, werden die Parameter für die Rückschritte $z_{19}=g(z_{20},b_{20},k_{20})$ konstant werden und in der Tat rückwärts zu $z_7$ wir haben immer $ z_{i-1} =g(z_{i},0,2)$.
Nun, wenn wir fortfahren $z_7$ rückwärts weiter mit den gleichen Parametern $(b,k)=(0,2)$stattdessen
kommen wir nicht zu unserem$z_0 = \exp(î)$ aber zu einem anderen Wert.
Mal sehen, welche Parameter wir tatsächlich brauchen, wenn wir rückwärts gehen $z_7$ zu $z_6$ und zu $z_0$.
Siehe die Iterationen$z_0$ zu $z_9$ und die Parameter $b_i$ und $k_i$ für jede Iteration:
z b k
--------------------------------------+--+--+----------------------
z_0: 0.540302305868+0.841470984808*I 0 0 ---> z_1
z_1: 1.68413794966+2.12135398618*I 1 0 ---> z_2
z_2: -1.13455960996+6.71301817364*I 0 1
z_3: -0.842246816784+6.84701983939*I 0 1
z_4: -0.478178799834+7.07722157180*I 0 1
z_5: -0.0436380449935+7.51933514381*I 0 1
z_6: 0.270773188633+8.42353070970*I 1 1 ---> z_7
z_7: -0.436174626083+9.52756299919*I 0 2 ---> z_8 from here parameters
z_8: -1.07926736567+9.46122892125*I 0 2 are always (0,2)
Ab $z_7$ wir würden machen $z_6=g(z_7,1,1)$, $z_5=g(z_6,0,1)$, $z_4=g(z_5,0,1)$, ...
Der interessantere Aspekt ist hier, dass wir wieder unendlich in die Rückwärtsrichtung iterieren können (mit $g(,0,2)$) mit diesem konstanten Parameterpaar $(0,2)$ und scheinbar in Richtung iterieren $- \infty + 4 \pi î$
Hier ist die Darstellung der Teilbahnen von $30$ tritt auf $f()$ (Farbe: blau) nämlich $z_0$ zu $z_{30}$ und dann die Teilbahnen von $63$ tritt auf $g( ,0,2)$ (Farbe: Gold) nämlich $z_{30}$ zu $z_{-32}$.
