Über abgeleiteten Funktor (Tor)

Question

Lassen $A$ sei ein kommutativer Ring mit 1 und nehme an $$0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$$ sei eine kurze exakte Folge von $A$-Module. Lassen$D$ Bohne $A$-Modul.

Ich verstehe das wenn $Tor^{A}_1(D,P)=0$, dann entsprechende genaue Reihenfolge $$0 \longrightarrow D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN \longrightarrow D\otimes_AP \longrightarrow 0 $$ist genau, da Tor abgeleiteter Funktor bleibt.

Umgekehrt können wir das immer sagen, wenn wir wissen, dass die gegebene Reihenfolge des Tensorprodukts genau ist $Tor^{A}_1(D,P)=0$?

Die Antwort ist ja (in Atiyah sagt), aber ich kann nicht verstehen, warum dies gilt. Ich denke, es kann so geschehen$Tor^{A}_1(D,P)\neq0$ aber Bild von $Tor^{A}_1(D,P) \longrightarrow D\otimes_AM$ ist Null, so dass die Zuordnung $D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN$ ist injektiv.

Answer 1

Wir könnten haben $N=P$ und $M=0$. Das würde machen$$ 0 \to D\otimes_AM \to D\otimes_AN \to D\otimes_AP \to 0 $$ genau egal was $P$ ist.

Ich denke stattdessen, was Atiyah meinte, war, dass wenn die Tensorsequenz für irgendeine genau ist $M,N$ so dass $$0\to M\to N\to P\to 0$$ ist genau, dann bekommen wir $\operatorname{Tor}_1^A(D,P)=0$.