Über Einpunktverdichtung

Question

In Follands "realer Analyse ..." wird die Ein-Punkt-Verdichtung für nicht kompakte, lokal kompakte Hausdorff-Räume definiert. (Lokale Kompaktheit ist für die Definition nicht erforderlich, aber seine Ein-Punkt-Verdichtung macht Hausdorff). [Hausdorffness ist auch nicht notwendig, aber wenn wir sagen, dass Raum Hausedorff ist, können wir in der Definition nur das Wort "kompakt" und nicht "kompakt geschlossen" verwenden].

Es gibt eine Übung in Buch, Seite 135, Übung 51: Wenn $X$ und $Y$ sind topologische Räume und $f$ ist eine stetige Funktion von $X$ zu $Y$, dann sagen wir das $f$ist richtig wenn$f^{-1}(K)$ ist kompakt in $X$, für jeden kompakten $K \subseteq Y$. Nehme an, dass$X$ und $Y$ sind lokal kompakte Hausdorff-Räume und $X_1$ und $Y_1$sind ihre jeweiligen Einpunktverdichtungen. Wenn$f$ ist kontinuierliche Funktion von $X$ zu $Y$, als $f$ ist richtig wenn $f$ erstreckt sich kontinuierlich von $X_1$ zu $Y_1$ indem man es einstellt $f(\infty_X)=\infty_Y$.

Ich habe das bewiesen, aber nirgendwo die Tatsache nutzen $X$ und $Y$ sind lokal kompakt (dh nirgendwo verwenden $X_1$ und $Y_1$sind Hausdorff Räume). Können Sie mir sagen, ob mein Beweis korrekt ist und eine lokale Kompaktheit wirklich nicht erforderlich ist?

1. annehmen $F$ ist geschlossen in $Y_1$, dann:

ein. $Y_1\setminus F$ ist kompakt in $Y$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[Y_1\setminus F]$ ist kompakt in $X$ $\Rightarrow$ $X_1\setminus f^{-1}[F]$ ist kompakt in $X$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[F]$ ist geschlossen in $X_1$.

oder

b. $F=F_1\cup \{\infty_Y\}$ wo $F_1$ ist geschlossen in $Y$. Es folgt dem$f^{-1}[F]=f^{-1}[F_1]\cup (f^{-1}[\{\infty_Y\}]=G_1\cup\{\infty_X\}$ wo $G_1$ ist geschlossen in $X$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[F]$ ist geschlossen in $X_1$.

1. Annehmen $K$ ist kompakt in $Y$ $\Rightarrow$ $K$ ist geschlossen in $Y_1$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[K]$ ist geschlossen in $X_1$ und es beinhaltet nicht $\infty_X$ $\Rightarrow$ $f^{-1}[K]$ ist kompakt in $X$.

Answer 1

Wie Sie sagen, kann man eine Ein-Punkt-Verdichtung definieren $X_1 = X \cup \{\infty\}$ für beliebige Räume $X$( Alexandroff-Verdichtung ). Eine Teilmenge$U_1 \subset X_1$ ist definiert als offen in $X_1$ wenn $U_1$ ist eine offene Teilmenge von $X$ oder $X_1 \setminus U_1$ ist eine kompakte geschlossene Teilmenge von $X$. Mit anderen Worten, die offenen Nachbarschaften von$\infty$ im $X_1$ sind die Ergänzungen von kompakten geschlossenen Teilmengen von $X$.

Es ist bekannt (und sehr leicht zu zeigen), dass $X_1$ ist Hausdorff iff $X$ist lokal kompaktes Hausdorff. Beachten Sie, dass wenn$X$ ist also Hausdorff aber lokal nicht kompakt $X_1$ kann Hausdorff nicht.

Der Zweck der obigen Konstruktion besteht darin, das Set zu verleihen $X_1$ mit einer solchen Topologie, dass

1. Die Subraumtopologie von $X$ geerbt von $X_1$ ist die ursprüngliche Topologie auf $X$.

2. $X$ ist offen in $X_1$.

3. $X_1$ ist kompakt.

Es ist leicht zu erkennen, dass es eine eindeutige Topologie gibt$X_1$mit diesen Eigenschaften. Diese Topologie wurde oben eingeführt. Es erklärt auch, warum wir offene Nachbarschaften von definieren müssen$\infty$ im $X_1$Ergänzungen kompakter geschlossener Teilmengen von$X$ und nicht als Ergänzung beliebiger kompakter Teilmengen von $X$. In der Tat, wenn$K \subset X$ ist kompakt und $X_1 \setminus K$ ist offen in $X_1$, dann $K$ ist geschlossen in $X_1$ und daher $K = K \cap X$ ist geschlossen in $X$.

Beachten Sie, dass im Allgemeinen kompakte Teilmengen vorhanden sind $K \subset X$ die nicht geschlossen sind (zB in keinem Nicht-$T_1$Raum finden wir Einpunkt-Teilmengen, die nicht geschlossen sind). Ein Raum, in dem alle kompakten Teilmengen geschlossen sind, wird als KC-Raum bezeichnet . Offensichtlich haben Hausdorff-Räume diese Eigenschaft.

Nun kommen wir zu Ihrer Frage. Um eine mehrdeutige Notation zu vermeiden, schreiben wir$f_1 : X_1 \to Y_1$ für die Erweiterung von $f$ über $f_1(\infty_X) =\infty_Y$. Wir haben dann ohne Anforderungen an$X,Y$

$f_1$ ist kontinuierlich iff $f$ hat Eigentum $$(*) \quad f^{-1}(K) \text{ is compact for each compact closed } K \subset Y .$$

$(*)$ist eine schwächere Variante der richtigen , die ich Anruf adhoc kann cl-ordnungsgemäße . Es stimmt mit "richtig" überein, wenn$Y$ ist ein KC-Raum, insbesondere wenn $Y$ist Hausdorff. Beachten Sie auch, dass in$(*)$ das können wir gleichermaßen verlangen $f^{-1}(K)$ ist eine kompakte geschlossene Teilmenge von $X$ weil $f$ ist kontinuierlich.

Um es zu beweisen, überlegen Sie $V_1 \subset Y_1$öffnen. Wenn$V_1 \subset Y$, dann $f_1^{-1}(V_1) = f^{-1}(V_1)$ ist offen in $X$ (schon seit $f$ ist kontinuierlich) und damit offen in $X_1$. Deshalb$f_1$ ist kontinuierlich iff $f_1^{-1}(V_1)$ ist offen in $X_1$ für alle $V_1 = Y_1 \setminus K$ mit kompakt geschlossen $K \subset Y$. Aber$f_1^{-1}(Y_1 \setminus K) = X_1 \setminus f_1^{-1}(K) = X_1 \setminus f^{-1}(K)$, und dieses Set ist offen in $X_1$ iff $f^{-1}(K)$ ist eine kompakte geschlossene Teilmenge von $X$.

Sie haben also Recht, wenn wir mit der Alexandroff-Verdichtung arbeiten, dann ist es immer wahr, dass$f$ ist cl-richtig iff $f_1$ist kontinuierlich. Wenn wir auf Ihrer Definition von richtig bestehen, gilt dies für KC-Räume$Y$insbesondere für Hausdorff $Y$.

Lassen Sie uns endlich Ihren Beweis besprechen.

Ihr Beweis von 2. ($f_1$ kontinuierlich impliziert $f$ richtig) ist richtig, funktioniert aber nur für einen KC $Y_1$ da benutzt du das $K$ ist geschlossen in $Y_1$. Wir brauchen keine Annahmen über$X_1$ weil geschlossene Teilmengen kompakter Räume immer kompakt sind.

Ihr Beweis von 1. ($f$ richtig impliziert $f_1$kontinuierlich) funktioniert nicht. Sie wollen dies zeigen, indem Sie beweisen, dass wenn$F_1 \subset Y_1$ ist dann geschlossen $f_1^{-1}(F_1) \subset X_1$ist geschlossen. Sie betrachten zwei Varianten (a.)$Y_1\setminus F_1$ ist kompakt in $Y$ und B.) $F_1 = F \cup \{\infty_Y\}$. In beiden Fällen$\infty_Y \in F_1$, also betrachten Sie den Fall nicht $\infty_Y \notin F_1$, aber das ist trivial.

In (a.) Im Allgemeinen $Y_1 \setminus F_1$ wird nicht kompakt sein, und ähnlich wenn $X_1\setminus f^{-1}(F_1)$ ist kompakt in $X$dann im Allgemeinen $f^{-1}(F_1)$ wird nicht geschlossen $X_1$.

In (b.) Schreiben Sie $F_1 = F \cup \{\infty_Y\}$ und behaupten ohne Beweis, dass $f^{-1}(F) \cup \{\infty_X\}$ist geschlossen. Diese Lücke kann aber leicht geschlossen werden.

Answer 2

Lokale Kompaktheit ist erforderlich, damit eine Einpunktverdichtung erfolgt. Denn wenn$\hat X$ ist die Einpunktverdichtung von $X$, dann $X$ ist offen in $\hat X$. Daraus folgt, da$\hat X$ ist kompakt Hausdorff, das $X$ ist lokal kompaktes Hausdorff.

Es scheint jedoch, dass wir auf die Hausdorffness-Annahme verzichten könnten, wie @BrianMScott betont.