Überzählen mit Symmetrie

Question

Ein Senatsausschuss hat $5$ Demokraten und $5$Republikaner. Auf wie viele Arten können sie an einem runden Tisch sitzen, wenn alle Mitglieder jeder Partei nebeneinander sitzen? Zwei Sitzordnungen werden als gleich angesehen, wenn für jede Person zu ihrer Linken in beiden Anordnungen dieselbe ist.

Mein Ansatz:

Wir können jede Gruppe in arrangieren $5!$Wege. Wir können die Gruppe als Ganzes arrangieren$2!$ Wege dh $RD$ und $DR$. Ich weiß, dass es aufgrund der kreisförmigen Anordnung dasselbe zu sein scheint. Ich möchte die Symmetrien jedoch so weit wie möglich überzählen, damit wir sie auf einmal teilen können. Das führt uns zu$5!\times 5!\times 2$. Jetzt wird jedes Arrangement überzählt$10$ Zeiten ($10$Rotationen). Dies führt zu meiner Antwort$\dfrac{5!\times 5!\times 2}{10}$. Ich halte das für falsch, weil für einen einfachen Fall von$2$ Demokraten und $2$ Republikaner, dieser Ansatz führt zu $2$Vereinbarungen. Es kann jedoch leicht überprüft werden, ob es solche gibt$4$mögliche Vorkehrungen. Kann mir bitte jemand helfen, den Fehler und die richtige Antwort herauszufinden?

Answer 1

Da jede Anordnung vollständig durch die Reihenfolge jeder Partei innerhalb ihres Blocks bestimmt wird, $5!\cdot5!$zählt bereits jedes Arrangement genau einmal. Die gleiche Anordnung kann in jedem von auftreten$10$ Positionen um den Tisch herum, wenn Sie also wirklich überzählen und dann die Überzählung loswerden möchten, sollten Sie haben $10\cdot5!\cdot5!$Arrangements, die sich nicht nur durch die Reihenfolge der Personen am Tisch, sondern auch durch ihre absoluten Positionen am Tisch auszeichnen. Dann würden Sie durch teilen$10$ zu berücksichtigen, dass rotationsäquivalente Anordnungen nicht unterschieden werden, so würde man bekommen $\frac{10\cdot5!\cdot5!}{10}$ Vereinbarungen.