Umlaufbahnen von $SO(3)$

Question

Haftungsausschluss: Diese Frage wurde mehrfach bearbeitet. Dieser behandelt den Fall$k=\mathbb{R}$, während ich einen anderen für den komplexen Fall posten werde.

Betrachten Sie die Aktion von $SO(3)$ auf $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$mit homogenen Koordinaten $x_0,x_1,x_2$der Form $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Ich würde gerne verstehen, was die Umlaufbahnen dieser Aktion sind, und verstehen, ob die Aktion transitiv ist $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ das heißt, seit $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$Ich würde gerne studieren $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Dafür habe ich der Einfachheit halber den Punkt in Betracht gezogen $p=(1:0:0)$und das habe ich gefunden $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $EIN$ is equal to $p$}\}.$$ Abschließend möchte ich zeigen, dass ein Punkt gegeben ist $y\in \mathbb{P}^2$gibt es eine Matrix $B\in SO(3)$ so dass $Bp=y$dh die erste Spalte von $B$ entspricht $y$. Leider stecke ich jetzt fest, weil ich nicht weiß, wie man eine Matrix einfach aus einer Spalte erstellt$y$.

Answer 1

Du brauchst eine Matrix $B$ so dass $Bp$ ist proportional zu $y$ (in Gedanken an $y$ als Vektor in $\Bbb R^3$). Der erste Schritt ist also zu ersetzen$y$ mit $y/\|y\|$, so dass es ein Einheitsvektor ist. Dann brauchen Sie eine Rotationsmatrix, deren erste Spalte ist$y$. Die beiden anderen Spalten müssen orthogonal zu sein$y$und sie müssen positiv ausgerichtet sein. Also hier ist eine Konstruktion:

Lassen Sie den kleinsten Eintrag von $y$, in absoluten Werten, sei die $i$th. Lassen$w = e_i$. Berechnen$$ v = w - w \cdot y $$ das ist orthogonal zu $y$ (Warum kann es nicht Null sein? Das ist eine Übung für Sie), und dann lassen Sie $$ u = v / \| v \| $$ Das ist ein Einheitsvektor orthogonal zu $y$. Dann lass$B$ sei eine Matrix mit Spalten $y, u, $ und $y \times u$.

Beachten Sie jedoch, dass dies für jeden Punkt funktioniert $y$, nicht nur die auf deiner Kurve $C$Ich verstehe also nicht wirklich, wie dies Ihr Problem angeht. Ich habe wahrscheinlich etwas falsch verstanden.