Universeller Eigenschaftsquotient

Question

Lassen $G$ eine Gruppe sein und $N$ eine normale Untergruppe von $G$. Ein Paar$(K, \pi: G \to K)$ wo $\pi$ Ein Gruppenmorphismus soll die universelle Eigenschaft der Quotientengruppe erfüllen, wenn für alle Gruppenmorphismen $f: G \to H$ mit $N \subseteq \ker f$ es gibt eine einzigartige $\tilde{f}: K \to H$ so dass $\tilde{f}\circ \pi = f$.

Frage : Ist diese Definition korrekt? Ich glaube, das sollten wir auch verlangen$N \subseteq \ker \pi$, oder folgt dies vielleicht aus der Definition?

Answer 1

Sie sind richtig, die Bedingung, dass $N\subset \ker \pi$sollte hinzugefügt werden. Ansonsten jeder surjektive Morphismus mit$\ker\pi\subset N$ würde die Eigenschaft befriedigen.