Unterscheidung von Hyperreals mit Mengen

Question

Lassen $^\ast\mathbb{R}$ sei die Menge von Hyperreals, die als nicht-prinzipielles Ultraprodukt über den Reals konstruiert sind, und lass $x\in {^\ast\mathbb{R}}$ und $y\in {^\ast\mathbb{R}}$seien zwei verschiedene hyperreale Zahlen. Gibt es immer ein echtes Set?$A\subset\mathbb{R}$ so dass $x \in {^\ast A}$ aber $y\notin {^\ast A}$?

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Dieses Problem kann festgestellt werden, ohne Hyperreals zu erwähnen: Let $\mathcal U$ ein (nicht prinzipieller) Ultrafilter sein $\mathbb N$ und lass $(x_n)$ und $(y_n)$ echte Sequenzen sein, so dass $\{n: x_n \neq y_n\} \in \mathcal U$. Gibt es einen Satz$A \subset \mathbb R$ so dass $\{n: x_n \in A\} \in \mathcal U$, aber $\{n: y_n \in A\} \notin \mathcal U$?

Ich weiß kaum etwas über das Thema, deshalb habe ich nur zwei einfache Ansätze ausgeschlossen:

• Wenn $N:=\{n: x_n \neq y_n\}$, dann $A := \{x_n: n\in N\}$ muss nicht so sein, wie es verlangt wird: Betrachten Sie z. $(x_n) = (0,1,0,1,\dots)$ und $(y_n) = (1,0,1,0,\dots)$ mit $N = \mathbb N$ und $A = \{0,1\}$. (Dieser Ansatz könnte nützlich sein, wenn dort einige "ausreichend klein" sind.$N\in \mathcal U$ so dass $x_n \neq y_n$ für alle $n\in N$.)
• Die Sequenzen $(x_n) = (1/n)$ und $(y_n) = (1/(n+1))$ sind kein Gegenbeispiel: Let $E$ sei die Menge der geraden natürlichen Zahlen und nehme an, wlog, $E \in \mathcal U$. Lassen$A := \{1/n: n\in E\}$. Dann$\{n: x_n \in A\} = E \in \mathcal U$ und $\{n: y_n \in A\} = \mathbb N\setminus E \notin \mathcal U$ (schon seit $\mathcal U$ ist ein Ultrafilter).

Entsprechende Einblicke in Hyperreals oder Ultrafilter sind willkommen!

Answer 1

Angenommen, wann immer $x=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ und $y=\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ sind Sequenzen in $\Bbb N$ so dass $(\mathscr{U}n)(x_n\ne y_n)$, es gibt eine $A\subseteq\Bbb N$ so dass $(\mathscr{U}n)(x_n\in A)$ und $(\mathscr{U}n)(y_n\notin A)$, wo $(\mathscr{U}n)\varphi(n)$ abgekürzt $\{n\in\Bbb N:\varphi(n)\}\in\mathscr{U}$, und lass $x$ und $y$sei so ein Paar von Sequenzen. Dann gibt es eine$U\in\mathscr{U}$ so dass

$$\{x_n:n\in U\}\cap\{y_n:n\in U\}=\varnothing\,.\tag{1}$$

Anzeigen $x$ und $y$ als Funktionen von $\Bbb N$ zu $\Bbb N$können wir umschreiben $(1)$ wie $x[U]\cap y[U]=\varnothing$. Lassen

$$\mathscr{X}=x(\mathscr{U})=\{X\subseteq\Bbb N:x^{-1}[X]\in\mathscr{U}\}$$

und

$$\mathscr{Y}=y(\mathscr{U})=\{Y\subseteq\Bbb N:y^{-1}[Y]\in\mathscr{U}\}\,;$$

$\mathscr{X}$ und $\mathscr{Y}$ sind Ultrafilter an $\Bbb N$, $x[U]\in\mathscr{X}$, und $y[U]\in\mathscr{Y}$, damit $\mathscr{X}\ne\mathscr{Y}$.

So, $x(\mathscr{U})\ne y(\mathscr{U})$ wann immer $x\ne y\pmod{\mathscr{U}}$, und $\mathscr{U}$ist daher ein Hausdorff Ultrafilter auf$\Bbb N$. Leider zeigen Bartoszynski und Shelah in der Veröffentlichung unter dem Link, dass es konsistent ist, dass es keine Hausdorff-Ultrafilter gibt$\Bbb N$Es ist also zumindest konsistent, dass die Antwort auf Ihre Frage Nein lautet .