Vektorräume gut verstehen
Ich möchte aus zwei Gründen wirklich ein starkes Verständnis der abstrakten linearen Algebra erlangen. Ich möchte aus Freude tiefer in die reine Mathematik eintauchen (abstrakte Algebra, Zahlentheorie usw.) und ein tieferes Verständnis dafür haben, wie Algorithmen für maschinelles Lernen unter der Haube funktionieren.
Ich habe Probleme damit, Vektorräume gut zu verstehen. Ich habe die Axiome, ihre Beweise und andere Beispiele / Beispielübungen in beiden Lehrbüchern sowie hier zum Austausch von Mathe-Stapeln durchgelesen. Wenn ich mir die Lösungen hier und bei einem Austausch von Mathe-Stapeln anschaue, warum ein bestimmtes Objekt ein Vektorraum ist oder nicht, folge ich nicht den Überlegungen. Hier ist eine solche alte Frage von hier (dies ist nur ein Beispiel, es gibt viele andere, denen ich nicht folge)
Als ich mir die sehr kurze akzeptierte Antwort ansah, die nur besagt:
Sei 𝑢 = (1,0) und 𝑣 = (0,1). Dann ist 𝑢 + ′ 𝑣 = (1, −1) und 𝑣 + ′ 𝑢 = (2,3).
Ich verstehe nicht, wie sie auf (2,3) gekommen sind?
Ich habe mir die 2. Lösung angesehen, die viel detaillierter ist und ziemlich verwirrt ist. Es scheint, als würden die algebraischen Manipulationen anders durchgeführt, als ich es von der High-School-Algebra erwarten würde.
Zum Beispiel hier (muss leider noch Latex lernen):
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = (𝑥1 + 2𝑦1,3𝑥2 - 𝑦2) + (𝑧1, 𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,3 (3𝑥2 - 𝑦2) −𝑧2) = (𝑥1 + 2𝑦1 + 2𝑧1,9𝑥2 - 3𝑦2 - 𝑧2)
Könnte mir jemand erklären, wie jede dieser Gleichungen zu dem Detail kommt? Ich verstehe nicht, warum Sie ein "+ 2z1" hinzufügen können, wenn es nur "z1" für sich war? In der folgenden Gleichung, warum können Sie "3 (3𝑥2 - 𝑦2)" ausführen, scheint es, als würden Sie den 3-Multiplikator zweimal anwenden? Und die gleiche Argumentation fehlt mir in der Gleichung 𝑥 + (𝑦 + 𝑧), aber ich denke, es wäre ähnlich.
Danke!
Antworten
Die normale Vektoraddition wird so definiert, dass bei zwei (zweidimensionalen) Vektoren $\vec x = (x_1, x_2)$ und $\vec y = (y_1, y_2)$, ihre Summe $\vec x + \vec y = (x_1, x_2) + (y_1, y_2)$ ist definiert als gleich $(x_1 + y_1,\ x_2 + y_2)$. Mit anderen Worten,$$(x_1, x_2) + (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + y_1,\ x_2 + y_2).$$
(Notiere dass der $+$ Schild auf der linken Seite des $\overset{\rm def}{=}$Das Symbol ist wirklich eine neue Operation , die wir definieren, da wir bisher nicht definiert haben, was es bedeutet, zwei Vektoren zu addieren. Die Zwei$+$ Zeichen auf der rechten Seite bezeichnen jedoch einfach die gewöhnliche Addition von zwei Zahlen.)
Nun stellt sich die Frage, was passieren würde, wenn wir diesen neuen Vektoradditionsoperator anders definieren würden. Um zu vermeiden, dass diese alternative Definition mit der oben angegebenen normalen Definition verwechselt wird, bezeichnen wir den alternativen Additionsoperator mit einem anderen Symbol. Die Frage verwendet$+'$ für diesen neuen Operator, aber ich mag diese Wahl aus typografischen Gründen nicht wirklich (der Apostroph sieht zu weit vom Pluszeichen entfernt aus), also lass es mich nennen $\oplus$stattdessen. Daher sieht unsere alternative Vektoradditionsregel jetzt folgendermaßen aus:$$(x_1, x_2) \oplus (y_1, y_2) \overset{\rm def}{=} (x_1 + 2y_1,\ 3x_2 - y_2).$$
Nun ist die Frage, ob das Set $\mathbb R^2$, ausgestattet mit dem üblichen Vektormultiplikationsoperator $\cdot$ und dieser neue alternative Additionsoperator $\oplus$, Könnte auch die befriedigen Definition eines Vektorraum über$\mathbb R$.
Wie sich herausstellt, lautet die Antwort "Nein". Und um dies zu beweisen, müssen wir nur mindestens ein Beispiel für Vektoren angeben, für die mindestens eines der Axiome in der Definition eines Vektorraums nicht gilt.
Eines dieser Axiome ist nun, dass die Vektoraddition kommutativ sein muss: if $+$ bezeichnet dann den Additionsoperator in einem Vektorraum $\vec x + \vec y$ muss immer gleich sein $\vec y + \vec x$. Dieses Axiom gilt eindeutig für den üblichen Additionsoperator, wie oben in dieser Antwort definiert. Gilt es auch für den alternativen Betreiber$\oplus$?
Der Gedanke eines Augenblicks sollte zeigen, dass dies seitdem nicht der Fall ist $x_1 + 2y_1$ ist in der Regel nicht gleich $y_1 + 2x_1$. (Tatsächlich sind die beiden Ausdrücke nur dann gleich, wenn$x_1 = y_1$.) Und im Übrigen, $3x_2 - y_2$ ist auch nicht gleich $3y_2 - x_2$ es sei denn $x_2 = y_2$.
Also dieser alternative Additionsoperator $\oplus$ Tatsächlich besteht die Kommutativitätsanforderung genauso schlecht, wie es möglich ist, sie nicht zu erfüllen: $\vec x \oplus \vec y \ne \vec y \oplus \vec x$ wann immer $\vec x \ne \vec y$.
Wie ich bereits erwähnt habe, müssen wir jedoch nicht beweisen, dass dieser Kommutativitätsfehler bei allen Paaren ungleicher Vektoren auftritt$\vec x$ und $\vec y$. Wir müssen nur ein Vektorpaar anzeigen, für das es nicht gilt. Wählen wir also einfach zwei verschiedene Vektoren aus - sagen wir:$\vec x = (0,1)$ und $\vec y = (1,0)$ - und rechne:
$$\begin{alignat}{3} \vec x \oplus \vec y &=\;& (0,1) \oplus (1,0) &=\;& (0 + 2 \cdot 1,\ 3 \cdot 1 - 0) &= (2,3) \\ \vec y \oplus \vec x &=\;& (1,0) \oplus (0,1) &=\;& (1 + 2 \cdot 0,\ 3 \cdot 0 - 1) &= (1,-1). \end{alignat}$$
Natürlich können Sie auch ein anderes Paar unterschiedlicher Vektoren auswählen. Und natürlich spielt es keine Rolle, ob Sie die Beispielvektoren aufrufen$\vec x$ und $\vec y$ oder $\vec u$ und $\vec v$oder Wasauchimmer. Und es spielt auch keine Rolle, ob Sie Ihre Vektorsymbole als schreiben$\vec x$ oder $\bar x$ oder $\mathbf x$ oder nur $x$, obwohl Sie im Allgemeinen versuchen sollten, die in Ihrem Lehrbuch verwendete Konvention zu befolgen.