Vektorwertiger Stein-Weierstrass-Satz?
Die Standardaussage des Stone-Weierstrass-Theorems lautet:
Lassen $X$ kompakter Hausdorff topologischer Raum sein, und $\mathcal{A}$ eine Subalgebra der stetigen Funktionen aus $X$ zu $\mathbb{R}$das trennt Punkte. Dann$\mathcal{A}$ ist dicht in $C(X, \mathbb{R})$ in sup-norm.
Die meisten Materialien, die ich zur Erweiterung des Stone-Weierstrass-Theorems finden kann, diskutieren nur den multivariaten Fall, dh $X\in \mathbb{R}^d$. Ich frage mich, ob dieser Satz auf vektorwertige stetige Funktionen erweitert werden kann. Insbesondere lassen$\mathcal{A}$ eine Subalgebra kontinuierlicher Funktionen sein $X\to \mathbb{R}^n$mit der Multiplikationskomponente weise definiert, dh $\forall f, g\in \mathcal{A}$, $fg = (f_1g_1, \ldots, f_ng_n)$. Dann werden wir behaupten$\mathcal{A}$ ist dicht in $C(X, \mathbb{R}^n)$ in sup-norm wenn $\mathcal{A}$ trennt Punkte?
Jede direkte Antwort oder Referenz würde mir sehr helfen!
Bearbeiten: Wie Nik Weaver betont, ist die ursprüngliche Vermutung aufgrund der Funktionen des Formulars falsch $x\mapsto (f(x), 0, \ldots, 0)$Erstellen Sie ein Gegenbeispiel. Ich frage mich, ob es nicht triviale Theoreme vom Weierstrass-Typ für vektorwertige Funktionen gibt. Was ist zum Beispiel, wenn wir weiter annehmen$\mathcal{A}$ist auf jeder " Achse" dicht ?
Antworten
Ich denke, dass Sie so etwas wollen:
Lassen $E\to X$ sei ein (endliches) Vektorbündel über einem kompakten topologischen Hausdorff-Raum $X$, Lassen $\mathcal{A}\subset C(X,\mathbb{R})$ sei eine Subalgebra, die Punkte trennt, und lass $\mathcal{E}\subset C(X,E)$ Bohne $\mathcal{A}$-Modul der $C(X,\mathbb{R})$-Modul des durchgehenden Abschnitts von $E\to X$. Nehmen wir an, das zu jedem Zeitpunkt$x\in X$, der Satz $\{\,e(x)\ |\ e\in\mathcal{E}\ \}$ überspannt $E_x$. Dann$\mathcal{E}$ ist dicht in $C(X,E)$ in Bezug auf die Supernorm, die durch eine Norm definiert ist $E$.
Nachtrag: Hier ist eine Skizze des Arguments: Erstens kann man dies durch ein einfaches Kompaktheitsargument zeigen$\mathcal{E}$ enthält eine endliche Menge $e_1,\ldots e_m$ so dass $e_1(x),e_2(x),\ldots,e_m(x)$ überspannt $E_x$ für alle $x\in X$. Dann$\mathcal{E}$ enthält alle Abschnitte des Formulars $$a_1\, e_1 + \cdots + a_m\,e_m$$ wo $a_i\in\mathcal{A}$und jeder Abschnitt $e\in C(X,E)$ kann in der Form geschrieben werden $$e = f_1\, e_1 + \cdots + f_m\,e_m$$ für einige Funktionen $f_i\in C(X,\mathbb{R})$. Nach dem Stone-Weierstrass-Theorem für jeden Fall$\delta>0$können wir wählen $a_i\in \mathcal{A}$ so dass $\|f_i-a_i\|<\delta$ für alle $1\le i\le m$. Nun kann die Äquivalenz aller Normen in endlichdimensionalen Vektorräumen angewendet werden (zusammen mit der Kompaktheit von$X$) um daraus zu schließen $\mathcal{E}$ ist dicht in $C(X,E)$ in jeder Sup-Norm, die aus einer Norm auf dem (endlichen Rang) Vektorbündel abgeleitet ist $E$.
Dies ist ein Kommentar, keine Antwort, aber ich bin leider nicht berechtigt. Vektorbewertete Stein-Weierstraß-Theoreme wurden in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts sehr detailliert untersucht, und es gibt eine umfassende Monographie zu diesem Thema von João Prolla ("Weierstraß-Stein, Theorem", 1993). Nicht zum Thema, aber er betrachtete auch den Fall von begrenzten, kontinuierlichen vektorwertigen Funktionen auf nicht kompakten Räumen unter Verwendung der strengen Topologie von RC Buck.