Vernichter des einfachen Moduls

Question

Lassen $C$ endlich erzeugt werden $R$-Algebra wo $R$ist ein unitaler kommutativer Ring. Lassen$S$ sei einfach $C$-Modul. Zeigen Sie, dass der Vernichter von$S$ im $R$ ist ein maximales Ideal.

Was ich versucht habe ist: Wann $C=R$ dann ist es eine direkte Folge der Einfachheit von $S$ als $R$-Modul. Weiter da$S$ ist dann einfach $S$ ist zyklisch (dh $S=Cy$ für ungleich Null $y\in S$). Betrachten Sie die Karte$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ Dann $\ker(f)$ ist der Vernichter von $S$ im $C$ und $\ker(f) \cap R$ ist der Vernichter von $S$ im $R$. Ich habe gezeigt, dass es ein Ideal von ist$R$aber ich habe keine Ahnung, weiterhin die Maximalität zu zeigen. Ist es eine wahre Richtung oder gibt es noch etwas, das ich berücksichtigen sollte, um die Maximalität zu zeigen?

Answer 1

Ich habe eine Idee: Wenn wir die Karte einschränken $f: C \to S$ auf $R$. Dann haben wir einen Isomorphismus zwischen$f(R)=Ry$ und der Quotient $R/(\ker(f) \cap R)$, wo $\ker(f) \cap R$ ist der Vernichter von $S$ im $R$.

Also zu zeigen $R/(\ker(f) \cap R)$ ist maximal, es reicht aus, um das zu zeigen $Ry$ ist einfach wie ein $R$-Modul. Lassen$ry \in Ry$ein Element ungleich Null sein. Dann klar$Ry$ enthält $\langle ry \rangle$ wie $R$-Module. Umgekehrt da$ry \in Ry \subset S$ ist ungleich Null, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Damit$Ry = \langle ry \rangle$ für alle ungleich Null $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ ist einfach und $R/(\ker(f) \cap R)$ ist maximal.

Bitte lassen Sie mich wissen, wenn meine Antwort mehrdeutig ist.