Verwechselt mit Dimensionen und Einbettungen
Ich bin neu in der Topologie und entschuldige mich im Voraus für diese vielleicht sehr einfache (oder philosophische) Frage.
Ich habe mir einen Torus immer als eine Donut-förmige Oberfläche vorgestellt $\mathbb{R}^3$. Nachdem ich jedoch angefangen hatte, Topologie zu studieren, habe ich herausgefunden, dass Torus ist$S^1 \times S^1$ und es ist natürlich definiert in $\mathbb{R}^4$. Gleichzeitig ist, wie ich verstanden habe, die beliebte 3D-Darstellung eines Torus eine Einbettung in$\mathbb{R}^3$Daher ist der natürliche 4d-Torus per Definition der Einbettung homöomorph zu einem leicht zu visualisierenden 3D-Torus.
Wenn wir den Quotienten eines Quadrats (durch Identifizieren von Seiten) verwenden, um einen Torus zu konstruieren, täuschen wir uns nicht vor, dies zu visualisieren $\mathbb{R}^3$, da wir nur ein "Stück" eines echten 4d-Torus bekommen. Ich habe meine eigene Frage hier vielleicht mit der Feststellung beantwortet, dass das Einbetten ein Homöomorphismus ist, aber ich möchte immer noch verstehen, welche Zusammenhänge zwischen Dimension, Einbettung und Homöomorphismus bestehen .
Torus ist zweidimensional, da 2 Punkte ausreichen, um ihn zu definieren (jeweils ein Punkt) $S^1$), aber jeder Kreis wird natürlich in dargestellt $\mathbb{R}^2$, also brauchen wir $\mathbb{R}^4$.
Verlieren wir "Informationen", wenn wir den Torus "projizieren"? $\mathbb{R}^4$ zu $\mathbb{R}^3$? Ist es nur Sehverlust oder auch topologisch?
Ich kann mir vorstellen, 3-Ball aufzunehmen $\mathbb{R^3}$ und "schrumpfen" es auf eine 2-Kugel (Scheibe) in $\mathbb{R}^2$ durch $z \to 0$. Während dieses Übergangs von$\mathbb{R}^3$ zu $\mathbb{R}^2$ Wir haben offensichtlich sowohl visuelle als auch topologische Informationen verloren (n-Ball ist homöomorph zu m-Ball $\iff$ n = m).
Bewahrt der Homöomorphismus die "innere" Dimension, kümmert er sich aber nicht um den äußeren (äußeren) Raum?
Antworten
Ich sehe den "natürlichen" Torus nicht wirklich als $S^1 \times S^1$ sitzen in $\mathbb{R}^4$. Es gibt mehrere äquivalente (sprich: homöomorphe) Sichtweisen auf den Torus, von denen eine das bekannte "Donut" -Bild ist. Zwei andere wären wie$S^1 \times S^1$ sitzen in $\mathbb{R}^4$oder als Quotient des Quadrats, wie Sie angegeben haben.
Unter dem Strich ist der Torus für einen Mathematiker ein eigenständiges Objekt . Ob es einen umgebenden euklidischen Raum gibt, in den Sie ihn einbetten können, ist in gewissem Sinne irrelevant. Es ist nur eine Reihe von Punkten zusammen mit einer Sammlung von 'offenen Teilmengen', die ihre Form definieren.
Um zu Ihren Fragen zu kommen: Geben Sie einen topologischen Raum an (zum Beispiel den Raum $X$die Quotienten aus dem Quadrat von gegenüberliegenden Seiten Identifizieren des Quotienten Topologie) tragen, können wir versuchen , zu visualisieren , es durch die Einbettung in einen euklidischen Raum. Eine Einbettung des topologischen Raumes$X$ in den euklidischen Raum $\mathbb{R}^n$ ist nur eine Karte $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ so dass $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ ist ein Homöomorphismus.
Es stellt sich also heraus, dass $X$ kann eingebettet werden in $\mathbb{R}^3$, aber auch in $\mathbb{R}^4$. Stellen Sie sich diese als "Erkenntnisse" von vor$X$in einem größeren Umgebungsraum. Diese beiden Erkenntnisse sind homöomorph zu$X$(duh, per Definition, was eine Einbettung ist), also sind sie auch homöomorph zueinander. Somit gehen keine Informationen verloren.
Es ist nicht richtig, sich das "Donut" -Bild des Torus als eine projizierte Version der Realisierung in vorzustellen $\mathbb{R}^4$. Es findet keine Projektion statt (wie wenn Sie einen vertikalen Zylinder in 3D auf eine Kreisscheibe in der horizontalen Ebene projizieren). Der Donut ist kein 3D-Schnitt der 4D-Form, sondern dieselbe Form .
Sie sagen zu Recht, dass die Dimension des Torus ist $2$. Diese Dimension ist auch unabhängig vom Umgebungsraum. Der Homöomorphismus bewahrt daher diese Dimension und kümmert sich nicht um die extrinsische Dimension. Hier gibt es eine kleine Einschränkung: Es ist ziemlich schwer zu definieren, was "Dimension" für einen topologischen Raum bedeutet, daher ist es schwierig zu beweisen, dass der Torus Dimension 2 hat.