Verwirrende Notation der partiellen Ableitung

Question

Nehme an, dass $z=f(x,y)$gegeben ist. wo$f(x,y)=x^3+y^3$. Ich bin etwas verwirrt über die Notation von$z_x$ und $f_x$.

Viele Leute verwenden die folgende Notation für $z_x$. $$z_x=3x^2$$

Aber was wenn $y$ bezieht sich auf $x$in einer Gleichung. Beispielsweise$$y=x.$$ Dann $${\partial z\over\partial x}$$ sollte auch variabel berücksichtigen $y$ schon seit $y$ kann dargestellt werden durch $x$. Aber in einer ähnlichen Situation sah ich in einem Buch$${\partial f\over\partial x }=3x^2$$ was y nicht als Variable betrachtet.

Zusammenfassend vorausgesetzt $z=f(x,y)$, $f(x,y)=x^3+y^3$, $y=x$ was ist $z_x$ und $f_x$?

Answer 1

Hier hilft es, die Notation einzuführen $\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y$ annehmen $y$ variiert nicht als $z$ variiert allein aufgrund $x$variieren. (Ich habe dies nicht als abgekürzt gesehen$(z_x)_y$, aber das ist vermutlich in Ordnung <besonders wenn Sie seine Bedeutung erklären.) Also$$z=x^3+y^3\implies \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y=3x^2,\,\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x=3y^2$$ist wahr, auch wenn$y$ist eine Funktion von x . Diese partiellen Ableitungen mögen in diesem Fall nicht nützlich erscheinen, aber ich kann zeigen, dass dies der Fall ist. Die multivariate Kettenregel lautet$$dz=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_ydx+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_xdy,$$was im besonderen Fall $y=f(x)$ gibt$$dy=f^\prime(x)dx\implies dz=\left[\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_xf^\prime(x)\right]dx.$$Dies führt natürlich zu @ Andrei's Berechnung.

Answer 2

Nehmen wir das an $y=y(x)$. Dann die Ableitung von$f(x,y)$ in Bezug auf Variable $x$ ist $$\frac{d f(x,y(x))}{dx}=3x^2+3y^2(x)\frac{dy(x)}{dx}$$ Die partielle Ableitung ist nur eine Notation, die auf der Kettenregel basiert. Dies ist die Ableitung, wenn Sie alle anderen Variablen unabhängig von betrachten$x$. Sie können jetzt sehen, dass Sie schreiben können$$\frac{d f(x,y(x))}{dx}=3x^2\frac{dx}{dx}+3y^2(x)\frac{dy(x)}{dx}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{dy}{dx}$$

Answer 3

Ich würde sagen, dass $f_x = 3x^2$ und $f_y = 3y^2$.

Wenn es geschrieben ist $z=x^3+y^3$ und die Notation $z_x$ verwendet wird dann würde ich akzeptieren $z_x=3x^2$ auch wenn das auch gesagt wird $y=x.$

Für die Gesamtableitung die Notation $z' = \frac{dz}{dx}$ wäre angemessener: $$z' = z_x x' + z_y y' = 3x^2 \cdot 1 + \left.3y^2\right|_{y=x} \cdot 1 = 6x^2.$$