Vorhandensein einer Analysefunktion auf der Festplatte

Question

Lassen $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}\subset\mathbb C$. Gibt es eine nicht konstante analytische Funktion?$g:D\to\mathbb C$ befriedigend $$g\bigg(\frac1n\bigg)=g^2\bigg(-\frac{1}n\bigg), \,\,\,\,\,\text{for every integer $n$ greater than 1?} $$

Folgendes habe ich getan:

Ich gehe davon aus, dass die Antwort nein ist, also nehmen wir aus Gründen des Widerspruchs an, dass solche $g$existiert. Betrachten Sie die Reihenfolge$(1/2,1/3,1/4,\dots)$ Wer ist alles in $D$. Diese Sequenz ist konvergent zu$0$. Definieren Sie eine Funktion$h(z)=g(z)-g^2(-z)$, das ist analytisch. Wir sehen das$$ h(1/2)=h(1/3)=h(1/4)=\dots=0, $$ Aus dem Identitätssatz, $h$ ist überall auf Null $D$. Daraus schließe ich$g(z)=g^2(-z)$überall. Was muss ich von hier aus tun? Vielen Dank.

Answer 1

Klar konstant $g\equiv 0$ oder $g\equiv 1$ beide erfüllen diese Beziehung.

Annehmen $g$ ist nicht konstant.

Wenn $g(z)=g^2(-z)$, dann $g(0)=g^2(0)$, und daher $g(0)=0$ oder $1$.

A. Wenn $g(0)=0$, dann $g(z)=z^kf(z)$für eine positive ganze Zahl $k$ und $f$ analytisch in der Einheitsplatte, mit $f(0)=a\ne 0$. In diesem Fall haben wir$$ n^{-k}f(1/n)=g(1/n)=g^2(-1/n)=n^{-2k}f^2(-1/n) $$ und daher $$ f(1/n)=n^{-k}f^2(-1/n) $$ Unmöglich, da $f(1/n)\to a\ne 0$während $n^{-k}f^2(-1/n)\to 0$, wie $n\to\infty$.

B. Wenn $g(0)=1$, dann $g(z)=1+z^kf(z)$, wo $f$ analytisch in der Einheitsplatte und $f(0)=a\ne 0$, in welchem ​​Fall $$ 1+n^{-k}f(1/n)=g(1/n)=g^2(-1/z) =\big(1+(-n)^{-k}f(-1/n)\big)^2=\\=1+2(-n)^{-k}f(-1/n)+n^{-2k}f^2(-1/n) $$ und daher $$ f(1/n)=2(-1)^kf(-1/n)+n^{-k}f^2(-1/n) $$ welches als $n\to\infty$, neigt dazu $$ a=2(-1)^ka. $$ Widerspruch.

Daher nur eine Konstante $g\equiv 0$ oder $g\equiv 1$ könnte befriedigen $g(1/n)=g^2(-1/n)$, für alle $n>1$.

Answer 2

Iterieren $g(z)=g^{2}(-z)$ wir bekommen $g(z)=g^{2^{n}}((-1)^{n} z)$. Wenn$|g(z)| >1$ wir bekommen $|g(z)|=|g^{2^{n}}((-1)^{n} z)| \to \infty$ wie $n \to \infty$durch gerade Werte ein Widerspruch. Daher$|g(z)| \leq 1$ für alle $z$ Ähnlich, $|g(z)| <1$ würde implizieren $g(z)=0$. Wenn$|g(z)|=1$ für alle $z$ dann $g$ist eine Konstante von MMP. Daher gibt es keine nicht konstante Lösung.