Wahrscheinlichkeitsfunktion von Zn

Question

Gegeben sei die folgende Wahrscheinlichkeitserzeugungsfunktion:

$G(s)=1-α(1-s)^β$

wo $0≤α≤1$ und $0$< $ β≤1$.

Können wir die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion ableiten? $G_n(s)$ der Zufallsvariablen $Z_n$ in der üblichen Schreibweise wo $G_n(s)=G(G_{n-1}(s))$ und so einen Ausdruck für finden $P(Z_n=0), P(Z_n=1)$ , und $P(Z_n=2)$ ?

Ich habe versucht zu finden $E[Z]$ durch Finden $G'(1)$ aber endete mit $αβ(1-s)^{β-1}$ , wo $(1-s)$ wird 0 und sein $\beta -1 ≤ 0$ macht es undefiniert.

Ich konnte jedoch feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit des endgültigen Aussterbens (wenn ich dies als Verzweigungsprozess behandle) eine geometrische Reihe mit der Potenz von ist $\alpha$ hinein:

$G_n(0) = 1-\alpha ^{\frac{1- \beta ^n}{1-\beta}}$

Aber ich bin mir nicht sicher, wie das bei der Bestimmung des PGF hilfreich wäre $Z_n$ und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Answer 1

Mit Induktion ein$n$, bekommst du leicht$G_n(s)=1-\alpha^{(1-\beta^n)/(1-\beta)}(1-s)^{\beta^n}$(lesen$1-\alpha^n(1-s)$zum$\beta=1$). Was die erwarteten Werte betrifft, haben Sie ein korrektes Ergebnis; diese existieren nicht (dh sind$\infty$) Wenn$\beta<1$.