Warum existiert diese Sequenz?

Question

Wir haben den folgenden Satz aus Stein und Shakarchis Real Analysis Book 3, der besagt, ob $H$ ist ein Hilbert-Raum, $f \in H$, und $S$ ist ein geschlossener Unterraum von $H$, dann gibt es ein Element $g_0 \in S$ so dass $\|f-g_0\| = \inf_{g \in S}\|f-g\|$.

Der Beweis beginnt mit dem Vermieten $d = \inf_{g \in S}\|f-g\|$ und unter Berücksichtigung einer Sequenz $\{g_n\} \subset S$ mit der Eigenschaft, dass

$$\|f-g_n\| \rightarrow d \text{ as }n \to \infty $$

Ich habe Probleme zu verstehen, warum so eine Sequenz $\{g_n\}$sollte existieren . Meine Intuition sagt mir, dass ich die Epsilon-Charakterisierung von Infimum verwenden muss. Das heißt, wenn$A$ ist eine Menge von reellen Zahlen und $d := \inf A$, dann

$$\forall \epsilon > 0, \exists x \in A \text{ such that }x < d + \epsilon$$

Answer 1

Für jeden $n\in\mathbb{N}$ Es muss ein Element geben $g_n\in S$ so dass $d\leq ||f-g_n||<d+\frac{1}{n}$Dies folgt in der Tat aus der Epsilon-Charakterisierung von Infimum. Nach dem Squeeze-Theorem$||f-g_n||\to d$.

Answer 2

Gegeben $\epsilon > 0$, wir können finden $g\in S$ mit $||f-g|| < d + \epsilon$. Zum Beispiel nicht; dann für alle$g \in S$, $||f-g|| \geq d + \epsilon$, was bedeutet, dass $d + \epsilon$ ist eine Untergrenze für $\{||f-g|| \big| g \in S\}$. Aber$d + \epsilon > d$, ein Widerspruch seit $d$ist die größte Untergrenze.

Nun zu jedem $n$, einstellen $\epsilon = 1/n$ und verwenden Sie die obige Tatsache, um zu finden $g_n$ mit $||f-g_n|| < d + 1/n$. Schon seit$d \leq ||f - g_n||$ per definitionem haben wir $||f-g_n||\rightarrow d$.