Warum ist dieses System linear?

Question

Hallo Leute, ich studiere Signale und Systeme, und mein Professor hat uns das gesagt

$$y(t) = \int\limits_{ t+T }^{t-T/2} {x(a+T/2)}\mathrm{d} a$$

ist ein lineares System.

Aber ein Primitiv von $x$ ist nicht $ x^2$? Wie ist es möglich, dass das linear ist?

Answer 1

Das ist kein Integral der Variablen $x$. Die Notation$x(a+T/2)$steht für eine Funktion $x(\cdot)$ der Variablen $a$.

Wenden Sie also den Grundsatz der Analysis an und nehmen Sie an, dass es eine Funktion gibt $G(a)$ so dass $G'(a) = x(a)$, dann haben Sie:

$$ \int x(a+T/2) da = \int G'(a+T/2)da = G(a+T/2) + C $$

wo die Konstante der Integration, $C$wird im bestimmten Integral weggelassen :

$$ \int_{t+T}^{t-T/2} x(a+T/2) da = \int_{t+T}^{t-T/2} G'(a+T/2)da = G(a+T/2)|_{t+T}^{t-T/2} $$

Das System hat also nichts mit einer quadratischen Funktion.

Wenn Sie zu seiner Linearität kommen, können Sie dies in Übereinstimmung mit der Linearität des Integraloperators zeigen ...

Answer 2

Die scheinbar komplizierten Integralgrenzen $t+T$ und $t-T/2$oder die Verschiebung $(a+T/2)$ mit unabhängiger Variable $a$Verschleiern Sie innerhalb des Integrals die Einfachheit des Systems. Es berechnet einen signierten Bereich in einem sich ständig bewegenden Fenster$[T,-T/2]$ das bewegt sich $t$für einen Eingang mit konstanter Verschiebung. Alle diese Bestandteile legen nahe, dass das System linear sein könnte.

Um dies klarer zu sehen, könnte es nützlich sein, es ein wenig zu vereinfachen. Durch eine variable Änderung$u=a+T/2$, das System $S$ wird:

$$y(t) = S(x(t))=-\int_t^{t+3T/2}x(u)\mathrm{d}u\,.$$

Dann kann man überprüfen, ob $S(\lambda x_1(t)+\mu x_2(t))$ entspricht $\lambda S( x_1(t))+\mu S(x_2(t))$. Es war möglich, bereits die ursprüngliche Formel zu überprüfen, vielleicht ist es mit der vereinfachten Form einfacher.